Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- log(dos ^x+ tres ^x)/x
- logaritmo de (2 en el grado x más 3 en el grado x) dividir por x
- logaritmo de (dos en el grado x más tres en el grado x) dividir por x
- log(2x+3x)/x
- log2x+3x/x
- log2^x+3^x/x
- log(2^x+3^x) dividir por x
-
Expresiones semejantes
- log(2^x-3^x)/x
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(9-2*x^2)/sin(2*pi*x)
- log(2+cos(x))/(-1+3^sin(x))^2
- log(1+m*x)/x
- log(1-cos(x))/log(tan(x))
- log(1+3^x)/log(1+2^x)
Límite de la función log(2^x+3^x)/x
Solución
Ha introducido
[src]
/ / x x\\
|log\2 + 3 /|
lim |------------|
x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 3^{x} \right)}}{x}\right)$$
Limit(log(2^x + 3^x)/x, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(2^{x} + 3^{x} \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 3^{x} \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(2^{x} + 3^{x} \right)}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)} + 3^{x} \log{\left(3 \right)}}{2^{x} + 3^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2^{x} \log{\left(2 \right)} + 3^{x} \log{\left(3 \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(2^{x} + 3^{x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2} + 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{2}}{2^{x} \log{\left(2 \right)} + 3^{x} \log{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2} + 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(2^{x} \log{\left(2 \right)} + 3^{x} \log{\left(3 \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}^{3} + 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{3}}{2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2} + 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}^{3} + 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{3}}{2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2} + 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\log{\left(3 \right)}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(2^{x} + 3^{x} \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 3^{x} \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(2^{x} + 3^{x} \right)}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)} + 3^{x} \log{\left(3 \right)}}{2^{x} + 3^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2^{x} \log{\left(2 \right)} + 3^{x} \log{\left(3 \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(2^{x} + 3^{x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2} + 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{2}}{2^{x} \log{\left(2 \right)} + 3^{x} \log{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2} + 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(2^{x} \log{\left(2 \right)} + 3^{x} \log{\left(3 \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}^{3} + 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{3}}{2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2} + 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}^{3} + 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{3}}{2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2} + 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\log{\left(3 \right)}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 3^{x} \right)}}{x}\right) = \log{\left(3 \right)}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 3^{x} \right)}}{x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 3^{x} \right)}}{x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 3^{x} \right)}}{x}\right) = \log{\left(5 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 3^{x} \right)}}{x}\right) = \log{\left(5 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 3^{x} \right)}}{x}\right) = \log{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 3^{x} \right)}}{x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 3^{x} \right)}}{x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 3^{x} \right)}}{x}\right) = \log{\left(5 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 3^{x} \right)}}{x}\right) = \log{\left(5 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + 3^{x} \right)}}{x}\right) = \log{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→-oo