Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/(-1+(1+x)^(1/3))
-
Límite de (4+5*x+6*x^2)/(-2+3*x^2+7*x)
-
Límite de ((1+5*x)/(-2+5*x))^(-8+3*x)
-
Límite de (5-4/cos(x))^(sin(3*x)^(-2))
- ¿cómo vas a descomponer esta expresión en fracciones?:
- sin(x)/(1-x^2/pi^2)
-
Expresiones idénticas
- sin(x)/(uno -x^ dos /pi^ dos)
- seno de (x) dividir por (1 menos x al cuadrado dividir por número pi al cuadrado )
- seno de (x) dividir por (uno menos x en el grado dos dividir por número pi en el grado dos)
- sin(x)/(1-x2/pi2)
- sinx/1-x2/pi2
- sin(x)/(1-x²/pi²)
- sin(x)/(1-x en el grado 2/pi en el grado 2)
- sinx/1-x^2/pi^2
- sin(x) dividir por (1-x^2 dividir por pi^2)
-
Expresiones semejantes
- sin(x)/(1+x^2/pi^2)
- sinx/(1-x^2/pi^2)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)^2*sin(2*x)^3/x
- sin(x)/(u*x)
- sin(-4+x^2)^2/(-1+2^(-2+x))
- sin(2*x)/(-5+sqrt(25+x))
- sin(16*x)^2/asin(3*x)^2
Límite de la función sin(x)/(1-x^2/pi^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ sin(x)\
lim |-------|
x->pi+| 2|
| x |
|1 - ---|
| 2|
\ pi /
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \frac{x^{2}}{\pi^{2}} + 1}\right)$$
Limit(sin(x)/(1 - x^2/pi^2), x, pi)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\pi^{2} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(- x^{2} + \pi^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \frac{x^{2}}{\pi^{2}} + 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\pi^{2} \sin{\left(x \right)}}{- x^{2} + \pi^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \pi^{2} \sin{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + \pi^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(- \frac{\pi^{2} \cos{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\pi}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\pi}{2}\right)$$
=
$$\frac{\pi}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\pi^{2} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(- x^{2} + \pi^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \frac{x^{2}}{\pi^{2}} + 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\pi^{2} \sin{\left(x \right)}}{- x^{2} + \pi^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \pi^{2} \sin{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + \pi^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(- \frac{\pi^{2} \cos{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\pi}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\pi}{2}\right)$$
=
$$\frac{\pi}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ sin(x)\
lim |-------|
x->pi+| 2|
| x |
|1 - ---|
| 2|
\ pi /
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \frac{x^{2}}{\pi^{2}} + 1}\right)$$
pi -- 2
$$\frac{\pi}{2}$$
= 1.5707963267949
/ sin(x)\
lim |-------|
x->pi-| 2|
| x |
|1 - ---|
| 2|
\ pi /
$$\lim_{x \to \pi^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \frac{x^{2}}{\pi^{2}} + 1}\right)$$
pi -- 2
$$\frac{\pi}{2}$$
= 1.5707963267949
= 1.5707963267949
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \pi^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \frac{x^{2}}{\pi^{2}} + 1}\right) = \frac{\pi}{2}$$
Más detalles con x→pi a la izquierda
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \frac{x^{2}}{\pi^{2}} + 1}\right) = \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \frac{x^{2}}{\pi^{2}} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \frac{x^{2}}{\pi^{2}} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \frac{x^{2}}{\pi^{2}} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \frac{x^{2}}{\pi^{2}} + 1}\right) = \frac{\pi^{2} \sin{\left(1 \right)}}{-1 + \pi^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \frac{x^{2}}{\pi^{2}} + 1}\right) = \frac{\pi^{2} \sin{\left(1 \right)}}{-1 + \pi^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \frac{x^{2}}{\pi^{2}} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→pi a la izquierda
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \frac{x^{2}}{\pi^{2}} + 1}\right) = \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \frac{x^{2}}{\pi^{2}} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \frac{x^{2}}{\pi^{2}} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \frac{x^{2}}{\pi^{2}} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \frac{x^{2}}{\pi^{2}} + 1}\right) = \frac{\pi^{2} \sin{\left(1 \right)}}{-1 + \pi^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \frac{x^{2}}{\pi^{2}} + 1}\right) = \frac{\pi^{2} \sin{\left(1 \right)}}{-1 + \pi^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \frac{x^{2}}{\pi^{2}} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo