Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{t \to 0^+} \sin{\left(5 t \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{t \to 0^+} \sin{\left(3 t \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{t \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 t \right)}}{\sin{\left(3 t \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{t \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d t} \sin{\left(5 t \right)}}{\frac{d}{d t} \sin{\left(3 t \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{t \to 0^+}\left(\frac{5 \cos{\left(5 t \right)}}{3 \cos{\left(3 t \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{t \to 0^+} \frac{5}{3}$$
=
$$\lim_{t \to 0^+} \frac{5}{3}$$
=
$$\frac{5}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)