Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(- uno +x)-sqrt(dos +x)
- raíz cuadrada de ( menos 1 más x) menos raíz cuadrada de (2 más x)
- raíz cuadrada de ( menos uno más x) menos raíz cuadrada de (dos más x)
- √(-1+x)-√(2+x)
- sqrt-1+x-sqrt2+x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(-1+x)-sqrt(2-x)
- sqrt(-1-x)-sqrt(2+x)
- sqrt(-1+x)+sqrt(2+x)
- sqrt(1+x)-sqrt(2+x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)/(100+x)
- sqrt(4+n)-sqrt(-1+n)
- sqrt(7)*(sqrt(7-x)-sqrt(7+x))/(7*x)
- sqrt(1-cos(x^2))/(1-cos(x))
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(1+x^2-x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)/(100+x)
- sqrt(4+n)-sqrt(-1+n)
- sqrt(7)*(sqrt(7-x)-sqrt(7+x))/(7*x)
- sqrt(1-cos(x^2))/(1-cos(x))
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(1+x^2-x)
Límite de la función sqrt(-1+x)-sqrt(2+x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ________ _______\ lim \\/ -1 + x - \/ 2 + x / x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 2}\right)$$
Limit(sqrt(-1 + x) - sqrt(2 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 2}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 2}\right) \left(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 2}\right)}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x - 1}\right)^{2} - \left(\sqrt{x + 2}\right)^{2}}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x - 2\right) + \left(x - 1\right)}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por sqrt(x):
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3}{\sqrt{x} \left(\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3}{\sqrt{x} \left(\sqrt{\frac{x - 1}{x}} + \sqrt{\frac{x + 2}{x}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3}{\sqrt{x} \left(\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{2}{x}}\right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3}{\sqrt{x} \left(\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{2}{x}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(- \frac{3}{\left(\sqrt{1 - u} + \sqrt{2 u + 1}\right) \sqrt{\frac{1}{u}}}\right)$$ =
= $$- \frac{3}{\tilde{\infty} \left(\sqrt{1 - 0} + \sqrt{0 \cdot 2 + 1}\right)} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 2}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 2}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 2}\right) \left(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 2}\right)}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x - 1}\right)^{2} - \left(\sqrt{x + 2}\right)^{2}}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x - 2\right) + \left(x - 1\right)}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por sqrt(x):
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3}{\sqrt{x} \left(\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3}{\sqrt{x} \left(\sqrt{\frac{x - 1}{x}} + \sqrt{\frac{x + 2}{x}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3}{\sqrt{x} \left(\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{2}{x}}\right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3}{\sqrt{x} \left(\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{2}{x}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(- \frac{3}{\left(\sqrt{1 - u} + \sqrt{2 u + 1}\right) \sqrt{\frac{1}{u}}}\right)$$ =
= $$- \frac{3}{\tilde{\infty} \left(\sqrt{1 - 0} + \sqrt{0 \cdot 2 + 1}\right)} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 2}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 2}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 2}\right) = - \sqrt{2} + i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 2}\right) = - \sqrt{2} + i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 2}\right) = - \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 2}\right) = - \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 2}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 2}\right) = - \sqrt{2} + i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 2}\right) = - \sqrt{2} + i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 2}\right) = - \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 2}\right) = - \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 2}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico