Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1/(1-x)-3/(1-x^3)
-
Límite de sin(3*x)/(2*x)
-
Límite de (1-2*x)^(1/x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- ((cuatro +x^ dos)/(uno +x^ dos))^(uno -x^ dos)
- ((4 más x al cuadrado ) dividir por (1 más x al cuadrado )) en el grado (1 menos x al cuadrado )
- ((cuatro más x en el grado dos) dividir por (uno más x en el grado dos)) en el grado (uno menos x en el grado dos)
- ((4+x2)/(1+x2))(1-x2)
- 4+x2/1+x21-x2
- ((4+x²)/(1+x²))^(1-x²)
- ((4+x en el grado 2)/(1+x en el grado 2)) en el grado (1-x en el grado 2)
- 4+x^2/1+x^2^1-x^2
- ((4+x^2) dividir por (1+x^2))^(1-x^2)
-
Expresiones semejantes
- ((4-x^2)/(1+x^2))^(1-x^2)
- ((4+x^2)/(1-x^2))^(1-x^2)
- ((4+x^2)/(1+x^2))^(1+x^2)
Límite de la función ((4+x^2)/(1+x^2))^(1-x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
2
1 - x
/ 2\
|4 + x |
lim |------|
x->oo| 2|
\1 + x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 1}\right)^{1 - x^{2}}$$
Limit(((4 + x^2)/(1 + x^2))^(1 - x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 1}\right)^{1 - x^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 1}\right)^{1 - x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x^{2} + 1\right) + 3}{x^{2} + 1}\right)^{1 - x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} + \frac{3}{x^{2} + 1}\right)^{1 - x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x^{2} + 1}\right)^{1 - x^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{2} + 1}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x^{2} + 1}\right)^{1 - x^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 - 3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3} = e^{-3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 1}\right)^{1 - x^{2}} = e^{-3}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 1}\right)^{1 - x^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 1}\right)^{1 - x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x^{2} + 1\right) + 3}{x^{2} + 1}\right)^{1 - x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} + \frac{3}{x^{2} + 1}\right)^{1 - x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x^{2} + 1}\right)^{1 - x^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{2} + 1}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x^{2} + 1}\right)^{1 - x^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 - 3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3} = e^{-3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 1}\right)^{1 - x^{2}} = e^{-3}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 1}\right)^{1 - x^{2}} = e^{-3}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 1}\right)^{1 - x^{2}} = 4$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 1}\right)^{1 - x^{2}} = 4$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 1}\right)^{1 - x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 1}\right)^{1 - x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 1}\right)^{1 - x^{2}} = e^{-3}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 1}\right)^{1 - x^{2}} = 4$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 1}\right)^{1 - x^{2}} = 4$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 1}\right)^{1 - x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 1}\right)^{1 - x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 1}\right)^{1 - x^{2}} = e^{-3}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico