Sr Examen

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tan(x)/tan(5*x)
Límite de la función/ tan(5*x)/ tan(x)/ tan(x)/tan(5*x)

Límite de la función tan(x)/tan(5*x)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
      / tan(x) \
 lim  |--------|
x->pi+\tan(5*x)/
lim⁡x→π+(tan⁡(x)tan⁡(5x))\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{\tan{\left(5 x \right)}}\right) 
Limit(tan(x)/tan(5*x), x, pi)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→π+tan⁡(x)=0\lim_{x \to \pi^+} \tan{\left(x \right)} = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→π+tan⁡(5x)=0\lim_{x \to \pi^+} \tan{\left(5 x \right)} = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→π+(tan⁡(x)tan⁡(5x))\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{\tan{\left(5 x \right)}}\right)
=
lim⁡x→π+(ddxtan⁡(x)ddxtan⁡(5x))\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \tan{\left(5 x \right)}}\right)
=
lim⁡x→π+(tan⁡2(x)+15tan⁡2(5x)+5)\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{5 \tan^{2}{\left(5 x \right)} + 5}\right)
=
lim⁡x→π+(tan⁡2(x)+15tan⁡2(5x)+5)\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{5 \tan^{2}{\left(5 x \right)} + 5}\right)
=
15\frac{1}{5}
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
0123456-6-5-4-3-2-1-100100
Construir el gráfico
A la izquierda y a la derecha [src] 
      / tan(x) \
 lim  |--------|
x->pi+\tan(5*x)/
lim⁡x→π+(tan⁡(x)tan⁡(5x))\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{\tan{\left(5 x \right)}}\right) 
1/5
15\frac{1}{5} 
= 0.2
      / tan(x) \
 lim  |--------|
x->pi-\tan(5*x)/
lim⁡x→π−(tan⁡(x)tan⁡(5x))\lim_{x \to \pi^-}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{\tan{\left(5 x \right)}}\right) 
1/5
15\frac{1}{5} 
= 0.2
= 0.2
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→π−(tan⁡(x)tan⁡(5x))=15\lim_{x \to \pi^-}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{\tan{\left(5 x \right)}}\right) = \frac{1}{5}
Más detalles con x→pi a la izquierda
lim⁡x→π+(tan⁡(x)tan⁡(5x))=15\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{\tan{\left(5 x \right)}}\right) = \frac{1}{5}
lim⁡x→∞(tan⁡(x)tan⁡(5x))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{\tan{\left(5 x \right)}}\right)
Más detalles con x→oo
lim⁡x→0−(tan⁡(x)tan⁡(5x))=15\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{\tan{\left(5 x \right)}}\right) = \frac{1}{5}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(tan⁡(x)tan⁡(5x))=15\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{\tan{\left(5 x \right)}}\right) = \frac{1}{5}
Más detalles con x→0 a la derecha
lim⁡x→1−(tan⁡(x)tan⁡(5x))=tan⁡(1)tan⁡(5)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{\tan{\left(5 x \right)}}\right) = \frac{\tan{\left(1 \right)}}{\tan{\left(5 \right)}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(tan⁡(x)tan⁡(5x))=tan⁡(1)tan⁡(5)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{\tan{\left(5 x \right)}}\right) = \frac{\tan{\left(1 \right)}}{\tan{\left(5 \right)}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(tan⁡(x)tan⁡(5x))\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{\tan{\left(5 x \right)}}\right)
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src] 
1/5
15\frac{1}{5}
Abrir y simplificar
Respuesta numérica [src] 
0.2
0.2
Gráfico
Límite de la función tan(x)/tan(5*x)
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