Sr Examen

Otras calculadoras:

Límite de la función (-1+e^(-3*x))/sin(5*x)

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     /      -3*x\
     |-1 + E    |
 lim |----------|
x->0+\ sin(5*x) /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{-1 + e^{- 3 x}}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
Limit((-1 + E^(-3*x))/sin(5*x), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - e^{3 x}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{3 x} \sin{\left(5 x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{-1 + e^{- 3 x}}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(1 - e^{3 x}\right) e^{- 3 x}}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - e^{3 x}\right)}{\frac{d}{d x} e^{3 x} \sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} \sin{\left(5 x \right)} + 5 e^{3 x} \cos{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{3}{3 e^{3 x} \sin{\left(5 x \right)} + 5 e^{3 x} \cos{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{3}{3 e^{3 x} \sin{\left(5 x \right)} + 5 e^{3 x} \cos{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$- \frac{3}{5}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha [src]
     /      -3*x\
     |-1 + E    |
 lim |----------|
x->0+\ sin(5*x) /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{-1 + e^{- 3 x}}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
-3/5
$$- \frac{3}{5}$$
= -0.6
     /      -3*x\
     |-1 + E    |
 lim |----------|
x->0-\ sin(5*x) /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{-1 + e^{- 3 x}}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
-3/5
$$- \frac{3}{5}$$
= -0.6
= -0.6
Respuesta rápida [src]
-3/5
$$- \frac{3}{5}$$
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{-1 + e^{- 3 x}}{\sin{\left(5 x \right)}}\right) = - \frac{3}{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{-1 + e^{- 3 x}}{\sin{\left(5 x \right)}}\right) = - \frac{3}{5}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + e^{- 3 x}}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{-1 + e^{- 3 x}}{\sin{\left(5 x \right)}}\right) = - \frac{-1 + e^{3}}{e^{3} \sin{\left(5 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{-1 + e^{- 3 x}}{\sin{\left(5 x \right)}}\right) = - \frac{-1 + e^{3}}{e^{3} \sin{\left(5 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{-1 + e^{- 3 x}}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src]
-0.6
-0.6