Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- -x+sqrt(x)*sqrt(cinco +x)
- menos x más raíz cuadrada de (x) multiplicar por raíz cuadrada de (5 más x)
- menos x más raíz cuadrada de (x) multiplicar por raíz cuadrada de (cinco más x)
- -x+√(x)*√(5+x)
- -x+sqrt(x)sqrt(5+x)
- -x+sqrtxsqrt5+x
-
Expresiones semejantes
- x+sqrt(x)*sqrt(5+x)
- -x+sqrt(x)*sqrt(5-x)
- -x-sqrt(x)*sqrt(5+x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)/(100+x)
- sqrt(4+n)-sqrt(-1+n)
- sqrt(7)*(sqrt(7-x)-sqrt(7+x))/(7*x)
- sqrt(1-cos(x^2))/(1-cos(x))
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(1+x^2-x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)/(100+x)
- sqrt(4+n)-sqrt(-1+n)
- sqrt(7)*(sqrt(7-x)-sqrt(7+x))/(7*x)
- sqrt(1-cos(x^2))/(1-cos(x))
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(1+x^2-x)
Límite de la función -x+sqrt(x)*sqrt(5+x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ___ _______\ lim \-x + \/ x *\/ 5 + x / x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} \sqrt{x + 5} - x\right)$$
Limit(-x + sqrt(x)*sqrt(5 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} \sqrt{x + 5} - x\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} \sqrt{x + 5} - x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}\right) \left(\sqrt{x} \sqrt{x + 5} - x\right)}{x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(\sqrt{x \left(x + 5\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x \left(x + 5\right)}{x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x \left(x + 5\right)}{x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{1 + \frac{\sqrt{x^{2} + 5 x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{\frac{x + 5}{x}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5}{\sqrt{5 u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{5}{1 + \sqrt{0 \cdot 5 + 1}} = \frac{5}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} \sqrt{x + 5} - x\right) = \frac{5}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} \sqrt{x + 5} - x\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} \sqrt{x + 5} - x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}\right) \left(\sqrt{x} \sqrt{x + 5} - x\right)}{x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(\sqrt{x \left(x + 5\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x \left(x + 5\right)}{x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x \left(x + 5\right)}{x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{1 + \frac{\sqrt{x^{2} + 5 x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{\frac{x + 5}{x}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5}{\sqrt{5 u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{5}{1 + \sqrt{0 \cdot 5 + 1}} = \frac{5}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} \sqrt{x + 5} - x\right) = \frac{5}{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} \sqrt{x + 5} - x\right) = \frac{5}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x} \sqrt{x + 5} - x\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x} \sqrt{x + 5} - x\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x} \sqrt{x + 5} - x\right) = -1 + \sqrt{6}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x} \sqrt{x + 5} - x\right) = -1 + \sqrt{6}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x} \sqrt{x + 5} - x\right) = \frac{5}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x} \sqrt{x + 5} - x\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x} \sqrt{x + 5} - x\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x} \sqrt{x + 5} - x\right) = -1 + \sqrt{6}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x} \sqrt{x + 5} - x\right) = -1 + \sqrt{6}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x} \sqrt{x + 5} - x\right) = \frac{5}{2}$$
Más detalles con x→-oo