Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{3}}{2} + \frac{1}{2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x^{2} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{3} + 1}{2 x^{2} - 2}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{3} + 1}{2 \left(x^{2} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{x^{3}}{2} + \frac{1}{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{3 x}{4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+} - \frac{3}{4}$$
=
$$\lim_{x \to -1^+} - \frac{3}{4}$$
=
$$- \frac{3}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)