Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (10-9*x+2*x^2)/(-10+x^2+3*x)
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de 1+1/x
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Expresiones idénticas
- (uno + dos *x^ dos + seis *x)/(x^ dos + tres *x)
- (1 más 2 multiplicar por x al cuadrado más 6 multiplicar por x) dividir por (x al cuadrado más 3 multiplicar por x)
- (uno más dos multiplicar por x en el grado dos más seis multiplicar por x) dividir por (x en el grado dos más tres multiplicar por x)
- (1+2*x2+6*x)/(x2+3*x)
- 1+2*x2+6*x/x2+3*x
- (1+2*x²+6*x)/(x²+3*x)
- (1+2*x en el grado 2+6*x)/(x en el grado 2+3*x)
- (1+2x^2+6x)/(x^2+3x)
- (1+2x2+6x)/(x2+3x)
- 1+2x2+6x/x2+3x
- 1+2x^2+6x/x^2+3x
- (1+2*x^2+6*x) dividir por (x^2+3*x)
-
Expresiones semejantes
- (1+2*x^2-6*x)/(x^2+3*x)
- (1-2*x^2+6*x)/(x^2+3*x)
- (1+2*x^2+6*x)/(x^2-3*x)
Límite de la función (1+2*x^2+6*x)/(x^2+3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|1 + 2*x + 6*x|
lim |--------------|
x->oo| 2 |
\ x + 3*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(2 x^{2} + 1\right)}{x^{2} + 3 x}\right)$$
Limit((1 + 2*x^2 + 6*x)/(x^2 + 3*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(2 x^{2} + 1\right)}{x^{2} + 3 x}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(2 x^{2} + 1\right)}{x^{2} + 3 x}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{6}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{6}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{2} + 6 u + 2}{3 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} + 0 \cdot 6 + 2}{0 \cdot 3 + 1} = 2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(2 x^{2} + 1\right)}{x^{2} + 3 x}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(2 x^{2} + 1\right)}{x^{2} + 3 x}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(2 x^{2} + 1\right)}{x^{2} + 3 x}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{6}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{6}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{2} + 6 u + 2}{3 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} + 0 \cdot 6 + 2}{0 \cdot 3 + 1} = 2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(2 x^{2} + 1\right)}{x^{2} + 3 x}\right) = 2$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2} + 6 x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 3 x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(2 x^{2} + 1\right)}{x^{2} + 3 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} + 6 x + 1}{x \left(x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} + 6 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 3 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + 6}{2 x + 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + 6}{2 x + 3}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2} + 6 x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 3 x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(2 x^{2} + 1\right)}{x^{2} + 3 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} + 6 x + 1}{x \left(x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} + 6 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 3 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + 6}{2 x + 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + 6}{2 x + 3}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(2 x^{2} + 1\right)}{x^{2} + 3 x}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 x + \left(2 x^{2} + 1\right)}{x^{2} + 3 x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x + \left(2 x^{2} + 1\right)}{x^{2} + 3 x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 x + \left(2 x^{2} + 1\right)}{x^{2} + 3 x}\right) = \frac{9}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 x + \left(2 x^{2} + 1\right)}{x^{2} + 3 x}\right) = \frac{9}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6 x + \left(2 x^{2} + 1\right)}{x^{2} + 3 x}\right) = 2$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 x + \left(2 x^{2} + 1\right)}{x^{2} + 3 x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x + \left(2 x^{2} + 1\right)}{x^{2} + 3 x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 x + \left(2 x^{2} + 1\right)}{x^{2} + 3 x}\right) = \frac{9}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 x + \left(2 x^{2} + 1\right)}{x^{2} + 3 x}\right) = \frac{9}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6 x + \left(2 x^{2} + 1\right)}{x^{2} + 3 x}\right) = 2$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico