Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-4+sqrt(1+15*x^2))/(x^2-x)
- Límite de (25-x^2)/(3-sqrt(-16+x^2))
-
Límite de 7-2*x
- Límite de log(log(1+n)/log(n))/log(n)
-
Expresiones idénticas
- (- cuatro +sqrt(uno + quince *x^ dos))/(x^ dos -x)
- ( menos 4 más raíz cuadrada de (1 más 15 multiplicar por x al cuadrado )) dividir por (x al cuadrado menos x)
- ( menos cuatro más raíz cuadrada de (uno más quince multiplicar por x en el grado dos)) dividir por (x en el grado dos menos x)
- (-4+√(1+15*x^2))/(x^2-x)
- (-4+sqrt(1+15*x2))/(x2-x)
- -4+sqrt1+15*x2/x2-x
- (-4+sqrt(1+15*x²))/(x²-x)
- (-4+sqrt(1+15*x en el grado 2))/(x en el grado 2-x)
- (-4+sqrt(1+15x^2))/(x^2-x)
- (-4+sqrt(1+15x2))/(x2-x)
- -4+sqrt1+15x2/x2-x
- -4+sqrt1+15x^2/x^2-x
- (-4+sqrt(1+15*x^2)) dividir por (x^2-x)
-
Expresiones semejantes
- (-4+sqrt(1+15*x^2))/(x^2+x)
- (-4-sqrt(1+15*x^2))/(x^2-x)
- (-4+sqrt(1-15*x^2))/(x^2-x)
- (4+sqrt(1+15*x^2))/(x^2-x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)/log(x)
- sqrt(x^2)/x
- sqrt(5+9*x^2)/(-1+2*x)
- sqrt(x+x^2)
- sqrt(x)-3/(-9+x)
Límite de la función (-4+sqrt(1+15*x^2))/(x^2-x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ___________\
| / 2 |
|-4 + \/ 1 + 15*x |
lim |-------------------|
x->1+| 2 |
\ x - x /
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4}{x^{2} - x}\right)$$
Limit((-4 + sqrt(1 + 15*x^2))/(x^2 - x), x, 1)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4}{x^{2} - x}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{15 x^{2} + 1} + 4$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4}{x^{2} - x} \left(\sqrt{15 x^{2} + 1} + 4\right)}{\sqrt{15 x^{2} + 1} + 4}$$
=
$$\frac{15 x^{2} - 15}{x \left(x - 1\right) \left(\sqrt{15 x^{2} + 1} + 4\right)}$$
=
$$\frac{15 + \frac{15}{x}}{\sqrt{15 x^{2} + 1} + 4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4}{x^{2} - x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{15 + \frac{15}{x}}{\sqrt{15 x^{2} + 1} + 4}\right)$$
=
$$\frac{15}{4}$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4}{x^{2} - x}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{15 x^{2} + 1} + 4$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4}{x^{2} - x} \left(\sqrt{15 x^{2} + 1} + 4\right)}{\sqrt{15 x^{2} + 1} + 4}$$
=
$$\frac{15 x^{2} - 15}{x \left(x - 1\right) \left(\sqrt{15 x^{2} + 1} + 4\right)}$$
=
$$\frac{15 + \frac{15}{x}}{\sqrt{15 x^{2} + 1} + 4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4}{x^{2} - x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{15 + \frac{15}{x}}{\sqrt{15 x^{2} + 1} + 4}\right)$$
=
$$\frac{15}{4}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{2} - x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4}{x^{2} - x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4}{x \left(x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{15 x}{\left(2 x - 1\right) \sqrt{15 x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{15}{4 \left(2 x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{15}{4 \left(2 x - 1\right)}\right)$$
=
$$\frac{15}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{2} - x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4}{x^{2} - x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4}{x \left(x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{15 x}{\left(2 x - 1\right) \sqrt{15 x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{15}{4 \left(2 x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{15}{4 \left(2 x - 1\right)}\right)$$
=
$$\frac{15}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4}{x^{2} - x}\right) = \frac{15}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4}{x^{2} - x}\right) = \frac{15}{4}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4}{x^{2} - x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4}{x^{2} - x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4}{x^{2} - x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4}{x^{2} - x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4}{x^{2} - x}\right) = \frac{15}{4}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4}{x^{2} - x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4}{x^{2} - x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4}{x^{2} - x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4}{x^{2} - x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ ___________\
| / 2 |
|-4 + \/ 1 + 15*x |
lim |-------------------|
x->1+| 2 |
\ x - x /
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4}{x^{2} - x}\right)$$
15/4
$$\frac{15}{4}$$
= 3.75
/ ___________\
| / 2 |
|-4 + \/ 1 + 15*x |
lim |-------------------|
x->1-| 2 |
\ x - x /
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{15 x^{2} + 1} - 4}{x^{2} - x}\right)$$
15/4
$$\frac{15}{4}$$
= 3.75
= 3.75
Gráfico