Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(2 n^{\frac{5}{2}} - 12 n^{\frac{3}{2}} + 18 \sqrt{n} + 5 n^{3} - 30 n^{2} + 45 n + 7\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{2} - 6 n + 9\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\left(2 \sqrt{n} + 5 n\right) + \frac{7}{\left(n - 3\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(2 \sqrt{n} + 5 n\right) \left(n - 3\right)^{2} + 7}{\left(n - 3\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(2 n^{\frac{5}{2}} - 12 n^{\frac{3}{2}} + 18 \sqrt{n} + 5 n^{3} - 30 n^{2} + 45 n + 7\right)}{\frac{d}{d n} \left(n^{2} - 6 n + 9\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5 n^{\frac{3}{2}} - 18 \sqrt{n} + 15 n^{2} - 60 n + 45 + \frac{9}{\sqrt{n}}}{2 n - 6}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(5 n^{\frac{3}{2}} - 18 \sqrt{n} + 15 n^{2} - 60 n + 45 + \frac{9}{\sqrt{n}}\right)}{\frac{d}{d n} \left(2 n - 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{15 \sqrt{n}}{4} + 15 n - 30 - \frac{9}{2 \sqrt{n}} - \frac{9}{4 n^{\frac{3}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{15 \sqrt{n}}{4} + 15 n - 30 - \frac{9}{2 \sqrt{n}} - \frac{9}{4 n^{\frac{3}{2}}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)