Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- (uno +x+x^ dos +x^ tres)/(- dos +x^ dos -x)
- (1 más x más x al cuadrado más x al cubo ) dividir por ( menos 2 más x al cuadrado menos x)
- (uno más x más x en el grado dos más x en el grado tres) dividir por ( menos dos más x en el grado dos menos x)
- (1+x+x2+x3)/(-2+x2-x)
- 1+x+x2+x3/-2+x2-x
- (1+x+x²+x³)/(-2+x²-x)
- (1+x+x en el grado 2+x en el grado 3)/(-2+x en el grado 2-x)
- 1+x+x^2+x^3/-2+x^2-x
- (1+x+x^2+x^3) dividir por (-2+x^2-x)
-
Expresiones semejantes
- (1+x-x^2+x^3)/(-2+x^2-x)
- (1+x+x^2+x^3)/(-2-x^2-x)
- (1+x+x^2-x^3)/(-2+x^2-x)
- (1+x+x^2+x^3)/(-2+x^2+x)
- (1-x+x^2+x^3)/(-2+x^2-x)
- (1+x+x^2+x^3)/(2+x^2-x)
Límite de la función (1+x+x^2+x^3)/(-2+x^2-x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 3\
|1 + x + x + x |
lim |---------------|
x->oo| 2 |
\ -2 + x - x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)}{- x + \left(x^{2} - 2\right)}\right)$$
Limit((1 + x + x^2 + x^3)/(-2 + x^2 - x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)}{- x + \left(x^{2} - 2\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)}{- x + \left(x^{2} - 2\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{3} + u^{2} + u + 1}{- 2 u^{3} - u^{2} + u}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} + 0^{3} + 1}{- 0^{2} - 2 \cdot 0^{3}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)}{- x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)}{- x + \left(x^{2} - 2\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)}{- x + \left(x^{2} - 2\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{3} + u^{2} + u + 1}{- 2 u^{3} - u^{2} + u}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} + 0^{3} + 1}{- 0^{2} - 2 \cdot 0^{3}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)}{- x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) = \infty$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + x^{2} + x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - x - 2\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)}{- x + \left(x^{2} - 2\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + x^{2} + x + 1}{x^{2} - x - 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + x^{2} + x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - x - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{2 x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{2 x - 1}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + x^{2} + x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - x - 2\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)}{- x + \left(x^{2} - 2\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + x^{2} + x + 1}{x^{2} - x - 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + x^{2} + x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - x - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{2 x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{2 x - 1}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)}{- x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)}{- x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)}{- x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)}{- x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) = -2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)}{- x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) = -2$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)}{- x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)}{- x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)}{- x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)}{- x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) = -2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)}{- x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) = -2$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)}{- x + \left(x^{2} - 2\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico