Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{\frac{x + 1}{x^{2}}}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \sqrt{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \sqrt{\frac{x + 1}{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\sqrt{\frac{x + 1}{x^{2}}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{\frac{x + 1}{x^{2}}} \left(x + 1\right)}{x^{2} \left(- \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{x + 1}{x^{3}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}{x^{2} \left(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}{x^{2} \left(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}\right)}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)