Sr Examen

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Límite de la función/ cos(x)/ cos(a)/ (-cos(a)+cos(x))/(x-a)

Límite de la función (-cos(a)+cos(x))/(x-a)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /-cos(a) + cos(x)\
 lim |----------------|
x->a+\     x - a      /
lim⁡x→a+(−cos⁡(a)+cos⁡(x)−a+x)\lim_{x \to a^+}\left(\frac{- \cos{\left(a \right)} + \cos{\left(x \right)}}{- a + x}\right) 
Limit((-cos(a) + cos(x))/(x - a), x, a)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→a+(−cos⁡(a)+cos⁡(x))=0\lim_{x \to a^+}\left(- \cos{\left(a \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→a+(−a+x)=0\lim_{x \to a^+}\left(- a + x\right) = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→a+(−cos⁡(a)+cos⁡(x)−a+x)\lim_{x \to a^+}\left(\frac{- \cos{\left(a \right)} + \cos{\left(x \right)}}{- a + x}\right)
=
lim⁡x→a+(−cos⁡(a)+cos⁡(x)−a+x)\lim_{x \to a^+}\left(\frac{- \cos{\left(a \right)} + \cos{\left(x \right)}}{- a + x}\right)
=
−sin⁡(a)- \sin{\left(a \right)}
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 0 vez (veces)
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /-cos(a) + cos(x)\
 lim |----------------|
x->a+\     x - a      /
lim⁡x→a+(−cos⁡(a)+cos⁡(x)−a+x)\lim_{x \to a^+}\left(\frac{- \cos{\left(a \right)} + \cos{\left(x \right)}}{- a + x}\right) 
-sin(a)
−sin⁡(a)- \sin{\left(a \right)} 
     /-cos(a) + cos(x)\
 lim |----------------|
x->a-\     x - a      /
lim⁡x→a−(−cos⁡(a)+cos⁡(x)−a+x)\lim_{x \to a^-}\left(\frac{- \cos{\left(a \right)} + \cos{\left(x \right)}}{- a + x}\right) 
-sin(a)
−sin⁡(a)- \sin{\left(a \right)} 
-sin(a)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→a−(−cos⁡(a)+cos⁡(x)−a+x)=−sin⁡(a)\lim_{x \to a^-}\left(\frac{- \cos{\left(a \right)} + \cos{\left(x \right)}}{- a + x}\right) = - \sin{\left(a \right)}
Más detalles con x→a a la izquierda
lim⁡x→a+(−cos⁡(a)+cos⁡(x)−a+x)=−sin⁡(a)\lim_{x \to a^+}\left(\frac{- \cos{\left(a \right)} + \cos{\left(x \right)}}{- a + x}\right) = - \sin{\left(a \right)}
lim⁡x→∞(−cos⁡(a)+cos⁡(x)−a+x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \cos{\left(a \right)} + \cos{\left(x \right)}}{- a + x}\right) = 0
Más detalles con x→oo
lim⁡x→0−(−cos⁡(a)+cos⁡(x)−a+x)=cos⁡(a)−1a\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \cos{\left(a \right)} + \cos{\left(x \right)}}{- a + x}\right) = \frac{\cos{\left(a \right)} - 1}{a}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(−cos⁡(a)+cos⁡(x)−a+x)=cos⁡(a)−1a\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos{\left(a \right)} + \cos{\left(x \right)}}{- a + x}\right) = \frac{\cos{\left(a \right)} - 1}{a}
Más detalles con x→0 a la derecha
lim⁡x→1−(−cos⁡(a)+cos⁡(x)−a+x)=−−cos⁡(a)+cos⁡(1)a−1\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \cos{\left(a \right)} + \cos{\left(x \right)}}{- a + x}\right) = - \frac{- \cos{\left(a \right)} + \cos{\left(1 \right)}}{a - 1}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(−cos⁡(a)+cos⁡(x)−a+x)=−−cos⁡(a)+cos⁡(1)a−1\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \cos{\left(a \right)} + \cos{\left(x \right)}}{- a + x}\right) = - \frac{- \cos{\left(a \right)} + \cos{\left(1 \right)}}{a - 1}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(−cos⁡(a)+cos⁡(x)−a+x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \cos{\left(a \right)} + \cos{\left(x \right)}}{- a + x}\right) = 0
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src] 
-sin(a)
−sin⁡(a)- \sin{\left(a \right)}
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