Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x)*(- uno +x^ dos)*(- dos +sqrt(uno +x))/((- uno +sqrt(x))*(- tres +x^ dos - dos *x))
- raíz cuadrada de (x) multiplicar por ( menos 1 más x al cuadrado ) multiplicar por ( menos 2 más raíz cuadrada de (1 más x)) dividir por (( menos 1 más raíz cuadrada de (x)) multiplicar por ( menos 3 más x al cuadrado menos 2 multiplicar por x))
- raíz cuadrada de (x) multiplicar por ( menos uno más x en el grado dos) multiplicar por ( menos dos más raíz cuadrada de (uno más x)) dividir por (( menos uno más raíz cuadrada de (x)) multiplicar por ( menos tres más x en el grado dos menos dos multiplicar por x))
- √(x)*(-1+x^2)*(-2+√(1+x))/((-1+√(x))*(-3+x^2-2*x))
- sqrt(x)*(-1+x2)*(-2+sqrt(1+x))/((-1+sqrt(x))*(-3+x2-2*x))
- sqrtx*-1+x2*-2+sqrt1+x/-1+sqrtx*-3+x2-2*x
- sqrt(x)*(-1+x²)*(-2+sqrt(1+x))/((-1+sqrt(x))*(-3+x²-2*x))
- sqrt(x)*(-1+x en el grado 2)*(-2+sqrt(1+x))/((-1+sqrt(x))*(-3+x en el grado 2-2*x))
- sqrt(x)(-1+x^2)(-2+sqrt(1+x))/((-1+sqrt(x))(-3+x^2-2x))
- sqrt(x)(-1+x2)(-2+sqrt(1+x))/((-1+sqrt(x))(-3+x2-2x))
- sqrtx-1+x2-2+sqrt1+x/-1+sqrtx-3+x2-2x
- sqrtx-1+x^2-2+sqrt1+x/-1+sqrtx-3+x^2-2x
- sqrt(x)*(-1+x^2)*(-2+sqrt(1+x)) dividir por ((-1+sqrt(x))*(-3+x^2-2*x))
-
Expresiones semejantes
- sqrt(x)*(-1+x^2)*(-2+sqrt(1+x))/((-1-sqrt(x))*(-3+x^2-2*x))
- sqrt(x)*(-1+x^2)*(-2+sqrt(1+x))/((1+sqrt(x))*(-3+x^2-2*x))
- sqrt(x)*(-1+x^2)*(-2+sqrt(1+x))/((-1+sqrt(x))*(3+x^2-2*x))
- sqrt(x)*(-1+x^2)*(-2-sqrt(1+x))/((-1+sqrt(x))*(-3+x^2-2*x))
- sqrt(x)*(-1+x^2)*(2+sqrt(1+x))/((-1+sqrt(x))*(-3+x^2-2*x))
- sqrt(x)*(1+x^2)*(-2+sqrt(1+x))/((-1+sqrt(x))*(-3+x^2-2*x))
- sqrt(x)*(-1-x^2)*(-2+sqrt(1+x))/((-1+sqrt(x))*(-3+x^2-2*x))
- sqrt(x)*(-1+x^2)*(-2+sqrt(1+x))/((-1+sqrt(x))*(-3+x^2+2*x))
- sqrt(x)*(-1+x^2)*(-2+sqrt(1+x))/((-1+sqrt(x))*(-3-x^2-2*x))
- sqrt(x)*(-1+x^2)*(-2+sqrt(1-x))/((-1+sqrt(x))*(-3+x^2-2*x))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*(sqrt(2+x)-sqrt(-3+x))
- sqrt(1+tan(x))-sqrt(1+sin(x))/x^3
- sqrt(x^2-3*x)-x
- sqrt(1+x^2)/x
- sqrt(8+x^3)*(sqrt(2+x^3)-sqrt(-1+x^3))
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*(sqrt(2+x)-sqrt(-3+x))
- sqrt(1+tan(x))-sqrt(1+sin(x))/x^3
- sqrt(x^2-3*x)-x
- sqrt(1+x^2)/x
- sqrt(8+x^3)*(sqrt(2+x^3)-sqrt(-1+x^3))
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*(sqrt(2+x)-sqrt(-3+x))
- sqrt(1+tan(x))-sqrt(1+sin(x))/x^3
- sqrt(x^2-3*x)-x
- sqrt(1+x^2)/x
- sqrt(8+x^3)*(sqrt(2+x^3)-sqrt(-1+x^3))
Límite de la función sqrt(x)*(-1+x^2)*(-2+sqrt(1+x))/((-1+sqrt(x))*(-3+x^2-2*x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ ___ / 2\ / _______\\
|\/ x *\-1 + x /*\-2 + \/ 1 + x /|
lim |--------------------------------|
x->3+| / ___\ / 2 \ |
\ \-1 + \/ x /*\-3 + x - 2*x/ /
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)}{\left(\sqrt{x} - 1\right) \left(- 2 x + \left(x^{2} - 3\right)\right)}\right)$$
Limit(((sqrt(x)*(-1 + x^2))*(-2 + sqrt(1 + x)))/(((-1 + sqrt(x))*(-3 + x^2 - 2*x))), x, 3)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)}{\sqrt{x} - 1}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x^{2} - 2 x - 3\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)}{\left(\sqrt{x} - 1\right) \left(- 2 x + \left(x^{2} - 3\right)\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)}{\left(\sqrt{x} - 1\right) \left(x^{2} - 2 x - 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)}{\sqrt{x} - 1}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 2 x - 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x + 1} - 2 \sqrt{x + 1}} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x + 1} - 2 \sqrt{x + 1}} - \frac{x^{2} \sqrt{x + 1}}{2 \left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)} + \frac{x^{2}}{- 2 \sqrt{x} + x + 1} + \frac{x^{2} \sqrt{x + 1}}{- 2 \sqrt{x} + 2 x} - \frac{2 x^{2}}{- 2 \sqrt{x} + 2 x} + \frac{\sqrt{x + 1}}{2 \left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)} - \frac{1}{- 2 \sqrt{x} + x + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{- 2 \sqrt{x} + 2 x} + \frac{2}{- 2 \sqrt{x} + 2 x}}{2 x - 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x + 1} - 2 \sqrt{x + 1}} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x + 1} - 2 \sqrt{x + 1}} - \frac{x^{2} \sqrt{x + 1}}{2 \left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)} + \frac{x^{2}}{- 2 \sqrt{x} + x + 1} + \frac{x^{2} \sqrt{x + 1}}{- 2 \sqrt{x} + 2 x} - \frac{2 x^{2}}{- 2 \sqrt{x} + 2 x} + \frac{\sqrt{x + 1}}{2 \left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)} - \frac{1}{- 2 \sqrt{x} + x + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{- 2 \sqrt{x} + 2 x} + \frac{2}{- 2 \sqrt{x} + 2 x}}{2 x - 2}\right)$$
=
$$\frac{\sqrt{3}}{-2 + 2 \sqrt{3}}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)}{\sqrt{x} - 1}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x^{2} - 2 x - 3\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)}{\left(\sqrt{x} - 1\right) \left(- 2 x + \left(x^{2} - 3\right)\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)}{\left(\sqrt{x} - 1\right) \left(x^{2} - 2 x - 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)}{\sqrt{x} - 1}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 2 x - 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x + 1} - 2 \sqrt{x + 1}} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x + 1} - 2 \sqrt{x + 1}} - \frac{x^{2} \sqrt{x + 1}}{2 \left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)} + \frac{x^{2}}{- 2 \sqrt{x} + x + 1} + \frac{x^{2} \sqrt{x + 1}}{- 2 \sqrt{x} + 2 x} - \frac{2 x^{2}}{- 2 \sqrt{x} + 2 x} + \frac{\sqrt{x + 1}}{2 \left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)} - \frac{1}{- 2 \sqrt{x} + x + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{- 2 \sqrt{x} + 2 x} + \frac{2}{- 2 \sqrt{x} + 2 x}}{2 x - 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x + 1} - 2 \sqrt{x + 1}} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x + 1} - 2 \sqrt{x + 1}} - \frac{x^{2} \sqrt{x + 1}}{2 \left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)} + \frac{x^{2}}{- 2 \sqrt{x} + x + 1} + \frac{x^{2} \sqrt{x + 1}}{- 2 \sqrt{x} + 2 x} - \frac{2 x^{2}}{- 2 \sqrt{x} + 2 x} + \frac{\sqrt{x + 1}}{2 \left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)} - \frac{1}{- 2 \sqrt{x} + x + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{- 2 \sqrt{x} + 2 x} + \frac{2}{- 2 \sqrt{x} + 2 x}}{2 x - 2}\right)$$
=
$$\frac{\sqrt{3}}{-2 + 2 \sqrt{3}}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ ___ / 2\ / _______\\
|\/ x *\-1 + x /*\-2 + \/ 1 + x /|
lim |--------------------------------|
x->3+| / ___\ / 2 \ |
\ \-1 + \/ x /*\-3 + x - 2*x/ /
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)}{\left(\sqrt{x} - 1\right) \left(- 2 x + \left(x^{2} - 3\right)\right)}\right)$$
___
\/ 3
------------
___
-2 + 2*\/ 3
$$\frac{\sqrt{3}}{-2 + 2 \sqrt{3}}$$
= 1.18301270189222
/ ___ / 2\ / _______\\
|\/ x *\-1 + x /*\-2 + \/ 1 + x /|
lim |--------------------------------|
x->3-| / ___\ / 2 \ |
\ \-1 + \/ x /*\-3 + x - 2*x/ /
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)}{\left(\sqrt{x} - 1\right) \left(- 2 x + \left(x^{2} - 3\right)\right)}\right)$$
___
\/ 3
------------
___
-2 + 2*\/ 3
$$\frac{\sqrt{3}}{-2 + 2 \sqrt{3}}$$
= 1.18301270189222
= 1.18301270189222
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)}{\left(\sqrt{x} - 1\right) \left(- 2 x + \left(x^{2} - 3\right)\right)}\right) = \frac{\sqrt{3}}{-2 + 2 \sqrt{3}}$$
Más detalles con x→3 a la izquierda
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)}{\left(\sqrt{x} - 1\right) \left(- 2 x + \left(x^{2} - 3\right)\right)}\right) = \frac{\sqrt{3}}{-2 + 2 \sqrt{3}}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)}{\left(\sqrt{x} - 1\right) \left(- 2 x + \left(x^{2} - 3\right)\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)}{\left(\sqrt{x} - 1\right) \left(- 2 x + \left(x^{2} - 3\right)\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)}{\left(\sqrt{x} - 1\right) \left(- 2 x + \left(x^{2} - 3\right)\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)}{\left(\sqrt{x} - 1\right) \left(- 2 x + \left(x^{2} - 3\right)\right)}\right) = 2 - \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)}{\left(\sqrt{x} - 1\right) \left(- 2 x + \left(x^{2} - 3\right)\right)}\right) = 2 - \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)}{\left(\sqrt{x} - 1\right) \left(- 2 x + \left(x^{2} - 3\right)\right)}\right) = \infty i$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→3 a la izquierda
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)}{\left(\sqrt{x} - 1\right) \left(- 2 x + \left(x^{2} - 3\right)\right)}\right) = \frac{\sqrt{3}}{-2 + 2 \sqrt{3}}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)}{\left(\sqrt{x} - 1\right) \left(- 2 x + \left(x^{2} - 3\right)\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)}{\left(\sqrt{x} - 1\right) \left(- 2 x + \left(x^{2} - 3\right)\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)}{\left(\sqrt{x} - 1\right) \left(- 2 x + \left(x^{2} - 3\right)\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)}{\left(\sqrt{x} - 1\right) \left(- 2 x + \left(x^{2} - 3\right)\right)}\right) = 2 - \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)}{\left(\sqrt{x} - 1\right) \left(- 2 x + \left(x^{2} - 3\right)\right)}\right) = 2 - \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)}{\left(\sqrt{x} - 1\right) \left(- 2 x + \left(x^{2} - 3\right)\right)}\right) = \infty i$$
Más detalles con x→-oo