Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(x^{2} + 1 \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(5 x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{1 - \cos{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(5 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x}{5 \left(x^{2} + 1\right) \sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x}{5 \sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{2 x}{5}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{25 \cos{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{2}{25}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{2}{25}$$
=
$$\frac{2}{25}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)