Sr Examen

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3*tan(x)/x
Límite de la función/ tan(x)/ 3*tan(x)/x

Límite de la función 3*tan(x)/x

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /3*tan(x)\
 lim |--------|
x->0+\   x    /
lim⁡x→0+(3tan⁡(x)x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \tan{\left(x \right)}}{x}\right) 
Limit((3*tan(x))/x, x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
lim⁡x→0+(3tan⁡(x)x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \tan{\left(x \right)}}{x}\right)
cambiamos
lim⁡x→0+(3tan⁡(x)x)=lim⁡x→0+(3sin⁡(x)xcos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \tan{\left(x \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(x \right)}}{x \cos{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(3sin⁡(x)x)lim⁡x→0+1cos⁡(x)=lim⁡x→0+(3sin⁡(x)x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cos{\left(x \right)}} = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(x \right)}}{x}\right)
lim⁡x→0+(3sin⁡(x)x)=lim⁡u→0+(3sin⁡(u)u)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{u}\right)
=
3lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)3 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)
El límite
lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)
hay el primer límite, es igual a 1.

Entonces la respuesta definitiva es:
lim⁡x→0+(3tan⁡(x)x)=3\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \tan{\left(x \right)}}{x}\right) = 3
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+(3tan⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(3 \tan{\left(x \right)}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+x=0\lim_{x \to 0^+} x = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(3tan⁡(x)x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \tan{\left(x \right)}}{x}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→0+(3tan⁡(x)x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \tan{\left(x \right)}}{x}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx3tan⁡(x)ddxx)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 3 \tan{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} x}\right)
=
lim⁡x→0+(3tan⁡2(x)+3)\lim_{x \to 0^+}\left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 3\right)
=
lim⁡x→0+(3tan⁡2(x)+3)\lim_{x \to 0^+}\left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 3\right)
=
33
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-5050
Trazar el gráfico
Respuesta rápida [src] 
3
33
Abrir y simplificar
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /3*tan(x)\
 lim |--------|
x->0+\   x    /
lim⁡x→0+(3tan⁡(x)x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \tan{\left(x \right)}}{x}\right) 
3
33 
= 3
     /3*tan(x)\
 lim |--------|
x->0-\   x    /
lim⁡x→0−(3tan⁡(x)x)\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 \tan{\left(x \right)}}{x}\right) 
3
33 
= 3
= 3
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(3tan⁡(x)x)=3\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 \tan{\left(x \right)}}{x}\right) = 3
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(3tan⁡(x)x)=3\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \tan{\left(x \right)}}{x}\right) = 3
lim⁡x→∞(3tan⁡(x)x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \tan{\left(x \right)}}{x}\right)
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(3tan⁡(x)x)=3tan⁡(1)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3 \tan{\left(x \right)}}{x}\right) = 3 \tan{\left(1 \right)}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(3tan⁡(x)x)=3tan⁡(1)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3 \tan{\left(x \right)}}{x}\right) = 3 \tan{\left(1 \right)}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(3tan⁡(x)x)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \tan{\left(x \right)}}{x}\right)
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src] 
3.0
3.0
Gráfico
Límite de la función 3*tan(x)/x
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