Sr Examen

Otras calculadoras:

Límite de la función (sqrt(-1+n^3)+2*n)/(1+sqrt(n))^3

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     /   _________      \
     |  /       3       |
     |\/  -1 + n   + 2*n|
 lim |------------------|
n->oo|              3   |
     |   /      ___\    |
     \   \1 + \/ n /    /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + \sqrt{n^{3} - 1}}{\left(\sqrt{n} + 1\right)^{3}}\right)$$
Limit((sqrt(-1 + n^3) + 2*n)/(1 + sqrt(n))^3, n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(2 n + \sqrt{n^{3} - 1}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{\frac{3}{2}} + 3 \sqrt{n} + 3 n + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + \sqrt{n^{3} - 1}}{\left(\sqrt{n} + 1\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(2 n + \sqrt{n^{3} - 1}\right)}{\frac{d}{d n} \left(n^{\frac{3}{2}} + 3 \sqrt{n} + 3 n + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{3 n^{2}}{2 \sqrt{n^{3} - 1}} + 2}{\frac{3 \sqrt{n}}{2} + 3 + \frac{3}{2 \sqrt{n}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{3 n^{2}}{2 \sqrt{n^{3} - 1}} + 2}{\frac{3 \sqrt{n}}{2} + 3 + \frac{3}{2 \sqrt{n}}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + \sqrt{n^{3} - 1}}{\left(\sqrt{n} + 1\right)^{3}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{2 n + \sqrt{n^{3} - 1}}{\left(\sqrt{n} + 1\right)^{3}}\right) = i$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{2 n + \sqrt{n^{3} - 1}}{\left(\sqrt{n} + 1\right)^{3}}\right) = i$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{2 n + \sqrt{n^{3} - 1}}{\left(\sqrt{n} + 1\right)^{3}}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{2 n + \sqrt{n^{3} - 1}}{\left(\sqrt{n} + 1\right)^{3}}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{2 n + \sqrt{n^{3} - 1}}{\left(\sqrt{n} + 1\right)^{3}}\right) = -1$$
Más detalles con n→-oo
Respuesta rápida [src]
1
$$1$$