Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (x^7-4*x+5*x^2)/(-7+3*x^2+11*x)
-
Límite de x*(1+x/5)-x*(1+x/4)
-
Límite de -(4+x)/(4*x)+(5+x)/(5*x)
-
Límite de (-1+x^3)*(8+x^4)/(2+3*x^2+4*x^3)
-
Expresiones idénticas
- x*log((cien +x)/(diez +x))
- x multiplicar por logaritmo de ((100 más x) dividir por (10 más x))
- x multiplicar por logaritmo de ((cien más x) dividir por (diez más x))
- xlog((100+x)/(10+x))
- xlog100+x/10+x
- x*log((100+x) dividir por (10+x))
-
Expresiones semejantes
- x*log((100+x)/(10-x))
- x*log((100-x)/(10+x))
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(x+(3+x^2)^(sqrt(x)))
- log(1+2*x)/log(1+sin(3*x))
- log(100+x)
- log(3+e^x)
- log((-7+8*x)/(-3+5*x))
Límite de la función x*log((100+x)/(10+x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ /100 + x\\ lim |x*log|-------|| x->oo\ \ 10 + x//
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(\frac{x + 100}{x + 10} \right)}\right)$$
Limit(x*log((100 + x)/(10 + x)), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\frac{x + 100}{x + 10} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(\frac{x + 100}{x + 10} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{x + 100}{x + 10} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{x \log{\left(\frac{x}{x + 10} + \frac{100}{x + 10} \right)}^{2} + 100 \log{\left(\frac{x}{x + 10} + \frac{100}{x + 10} \right)}^{2}} - \frac{10}{x \log{\left(\frac{x}{x + 10} + \frac{100}{x + 10} \right)}^{2} + 100 \log{\left(\frac{x}{x + 10} + \frac{100}{x + 10} \right)}^{2}}\right) \left(- \frac{x}{x^{2} + 20 x + 100} - \frac{100}{x^{2} + 20 x + 100} + \frac{1}{x + 10}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{x \log{\left(\frac{x}{x + 10} + \frac{100}{x + 10} \right)}^{2} + 100 \log{\left(\frac{x}{x + 10} + \frac{100}{x + 10} \right)}^{2}} - \frac{10}{x \log{\left(\frac{x}{x + 10} + \frac{100}{x + 10} \right)}^{2} + 100 \log{\left(\frac{x}{x + 10} + \frac{100}{x + 10} \right)}^{2}}\right) \left(- \frac{x}{x^{2} + 20 x + 100} - \frac{100}{x^{2} + 20 x + 100} + \frac{1}{x + 10}\right)}\right)$$
=
$$90$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\frac{x + 100}{x + 10} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(\frac{x + 100}{x + 10} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{x + 100}{x + 10} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{x \log{\left(\frac{x}{x + 10} + \frac{100}{x + 10} \right)}^{2} + 100 \log{\left(\frac{x}{x + 10} + \frac{100}{x + 10} \right)}^{2}} - \frac{10}{x \log{\left(\frac{x}{x + 10} + \frac{100}{x + 10} \right)}^{2} + 100 \log{\left(\frac{x}{x + 10} + \frac{100}{x + 10} \right)}^{2}}\right) \left(- \frac{x}{x^{2} + 20 x + 100} - \frac{100}{x^{2} + 20 x + 100} + \frac{1}{x + 10}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{x \log{\left(\frac{x}{x + 10} + \frac{100}{x + 10} \right)}^{2} + 100 \log{\left(\frac{x}{x + 10} + \frac{100}{x + 10} \right)}^{2}} - \frac{10}{x \log{\left(\frac{x}{x + 10} + \frac{100}{x + 10} \right)}^{2} + 100 \log{\left(\frac{x}{x + 10} + \frac{100}{x + 10} \right)}^{2}}\right) \left(- \frac{x}{x^{2} + 20 x + 100} - \frac{100}{x^{2} + 20 x + 100} + \frac{1}{x + 10}\right)}\right)$$
=
$$90$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(\frac{x + 100}{x + 10} \right)}\right) = 90$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \log{\left(\frac{x + 100}{x + 10} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \log{\left(\frac{x + 100}{x + 10} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \log{\left(\frac{x + 100}{x + 10} \right)}\right) = - \log{\left(11 \right)} + \log{\left(101 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \log{\left(\frac{x + 100}{x + 10} \right)}\right) = - \log{\left(11 \right)} + \log{\left(101 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \log{\left(\frac{x + 100}{x + 10} \right)}\right) = 90$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \log{\left(\frac{x + 100}{x + 10} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \log{\left(\frac{x + 100}{x + 10} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \log{\left(\frac{x + 100}{x + 10} \right)}\right) = - \log{\left(11 \right)} + \log{\left(101 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \log{\left(\frac{x + 100}{x + 10} \right)}\right) = - \log{\left(11 \right)} + \log{\left(101 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \log{\left(\frac{x + 100}{x + 10} \right)}\right) = 90$$
Más detalles con x→-oo