Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \left(e^{8 x} - 1\right)}{\operatorname{asin}{\left(5 x \right)}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{1 - 5 x} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \left(e^{8 x} - 1\right)}{\left(\sqrt{1 - 5 x} - 1\right) \operatorname{asin}{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \left(e^{8 x} - 1\right)}{\left(\sqrt{1 - 5 x} - 1\right) \operatorname{asin}{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x \left(e^{8 x} - 1\right)}{\operatorname{asin}{\left(5 x \right)}}}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{1 - 5 x} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \sqrt{1 - 5 x} \left(\frac{8 x e^{8 x}}{\operatorname{asin}{\left(5 x \right)}} - \frac{5 x \left(e^{8 x} - 1\right)}{\sqrt{1 - 25 x^{2}} \operatorname{asin}^{2}{\left(5 x \right)}} + \frac{e^{8 x} - 1}{\operatorname{asin}{\left(5 x \right)}}\right)}{5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{16 x e^{8 x}}{5 \operatorname{asin}{\left(5 x \right)}} + \frac{2 x e^{8 x}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}} \operatorname{asin}^{2}{\left(5 x \right)}} - \frac{2 x}{\sqrt{1 - 25 x^{2}} \operatorname{asin}^{2}{\left(5 x \right)}} - \frac{2 e^{8 x}}{5 \operatorname{asin}{\left(5 x \right)}} + \frac{2}{5 \operatorname{asin}{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{16 x e^{8 x}}{5 \operatorname{asin}{\left(5 x \right)}} + \frac{2 x e^{8 x}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}} \operatorname{asin}^{2}{\left(5 x \right)}} - \frac{2 x}{\sqrt{1 - 25 x^{2}} \operatorname{asin}^{2}{\left(5 x \right)}} - \frac{2 e^{8 x}}{5 \operatorname{asin}{\left(5 x \right)}} + \frac{2}{5 \operatorname{asin}{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$- \frac{16}{25}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)