Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{- \sqrt{x - 4} + \sqrt{x + 3}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} \left(- \sqrt{x - 4} + \sqrt{x + 3}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{x}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{- \sqrt{x - 4} + \sqrt{x + 3}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 2 \sqrt{x - 4} \sqrt{x + 3} - 1}{2 \sqrt{x} \left(- \frac{1}{2 \sqrt{x + 3}} + \frac{1}{2 \sqrt{x - 4}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 2 \sqrt{x - 4} \sqrt{x + 3} - 1}{2 \sqrt{x} \left(- \frac{1}{2 \sqrt{x + 3}} + \frac{1}{2 \sqrt{x - 4}}\right)}\right)$$
=
$$\frac{7}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)