Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 8*x/(-4+x)
-
Límite de (7-3*x^2+5*x^4)/(1+x^4+2*x^3)
-
Límite de (1+3*n)/(2+n)
-
Límite de (-2+x)^(-2)
-
Expresiones idénticas
- n*sqrt(dos +n)/(uno +n*sqrt(uno +n))
- n multiplicar por raíz cuadrada de (2 más n) dividir por (1 más n multiplicar por raíz cuadrada de (1 más n))
- n multiplicar por raíz cuadrada de (dos más n) dividir por (uno más n multiplicar por raíz cuadrada de (uno más n))
- n*√(2+n)/(1+n*√(1+n))
- nsqrt(2+n)/(1+nsqrt(1+n))
- nsqrt2+n/1+nsqrt1+n
- n*sqrt(2+n) dividir por (1+n*sqrt(1+n))
-
Expresiones semejantes
- n*sqrt(2-n)/(1+n*sqrt(1+n))
- n*sqrt(2+n)/(1+n*sqrt(1-n))
- n*sqrt(2+n)/(1-n*sqrt(1+n))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(3+x+x^2)-sqrt(1+x^2-3*x)
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2+3*x)
- sqrt(4+x)-sqrt(6)/(-8+x^2+2*x)
- sqrt(2)*(-2+x)^n/(2*sqrt(pi)*sqrt(n))
- sqrt(2+x^2-x)-sqrt(-3+x^2)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(3+x+x^2)-sqrt(1+x^2-3*x)
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2+3*x)
- sqrt(4+x)-sqrt(6)/(-8+x^2+2*x)
- sqrt(2)*(-2+x)^n/(2*sqrt(pi)*sqrt(n))
- sqrt(2+x^2-x)-sqrt(-3+x^2)
Límite de la función n*sqrt(2+n)/(1+n*sqrt(1+n))
Solución
Ha introducido
[src]
/ _______ \
| n*\/ 2 + n |
lim |---------------|
n->oo| _______|
\1 + n*\/ 1 + n /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \sqrt{n + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 1}\right)$$
Limit((n*sqrt(2 + n))/(1 + n*sqrt(1 + n)), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \sqrt{n + 2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \sqrt{n + 1} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \sqrt{n + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \sqrt{n + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n \sqrt{n + 2}}{\frac{d}{d n} \left(n \sqrt{n + 1} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{n}{2 \sqrt{n + 2}} + \sqrt{n + 2}}{\frac{n}{2 \sqrt{n + 1}} + \sqrt{n + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(\frac{n}{2 \sqrt{n + 2}} + \sqrt{n + 2}\right)}{\frac{d}{d n} \left(\frac{n}{2 \sqrt{n + 1}} + \sqrt{n + 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \frac{n}{4 \left(n \sqrt{n + 2} + 2 \sqrt{n + 2}\right)} + \frac{1}{\sqrt{n + 2}}}{- \frac{n}{4 \left(n \sqrt{n + 1} + \sqrt{n + 1}\right)} + \frac{1}{\sqrt{n + 1}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \frac{n}{4 \left(n \sqrt{n + 2} + 2 \sqrt{n + 2}\right)} + \frac{1}{\sqrt{n + 2}}}{- \frac{n}{4 \left(n \sqrt{n + 1} + \sqrt{n + 1}\right)} + \frac{1}{\sqrt{n + 1}}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \sqrt{n + 2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \sqrt{n + 1} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \sqrt{n + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \sqrt{n + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n \sqrt{n + 2}}{\frac{d}{d n} \left(n \sqrt{n + 1} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{n}{2 \sqrt{n + 2}} + \sqrt{n + 2}}{\frac{n}{2 \sqrt{n + 1}} + \sqrt{n + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(\frac{n}{2 \sqrt{n + 2}} + \sqrt{n + 2}\right)}{\frac{d}{d n} \left(\frac{n}{2 \sqrt{n + 1}} + \sqrt{n + 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \frac{n}{4 \left(n \sqrt{n + 2} + 2 \sqrt{n + 2}\right)} + \frac{1}{\sqrt{n + 2}}}{- \frac{n}{4 \left(n \sqrt{n + 1} + \sqrt{n + 1}\right)} + \frac{1}{\sqrt{n + 1}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \frac{n}{4 \left(n \sqrt{n + 2} + 2 \sqrt{n + 2}\right)} + \frac{1}{\sqrt{n + 2}}}{- \frac{n}{4 \left(n \sqrt{n + 1} + \sqrt{n + 1}\right)} + \frac{1}{\sqrt{n + 1}}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \sqrt{n + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 1}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{n \sqrt{n + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{n \sqrt{n + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{n \sqrt{n + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 1}\right) = \frac{\sqrt{3}}{1 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{n \sqrt{n + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 1}\right) = \frac{\sqrt{3}}{1 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{n \sqrt{n + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 1}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{n \sqrt{n + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{n \sqrt{n + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{n \sqrt{n + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 1}\right) = \frac{\sqrt{3}}{1 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{n \sqrt{n + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 1}\right) = \frac{\sqrt{3}}{1 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{n \sqrt{n + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 1}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo