Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+e^x)/x
-
Límite de x^2*log(x)
-
Límite de (3-sqrt(5+x))/(1-sqrt(5-x))
-
Límite de x^2
-
Expresiones idénticas
- (tres +x^ dos - dos *x)/(uno - cuatro *x+ tres *x^ dos)
- (3 más x al cuadrado menos 2 multiplicar por x) dividir por (1 menos 4 multiplicar por x más 3 multiplicar por x al cuadrado )
- (tres más x en el grado dos menos dos multiplicar por x) dividir por (uno menos cuatro multiplicar por x más tres multiplicar por x en el grado dos)
- (3+x2-2*x)/(1-4*x+3*x2)
- 3+x2-2*x/1-4*x+3*x2
- (3+x²-2*x)/(1-4*x+3*x²)
- (3+x en el grado 2-2*x)/(1-4*x+3*x en el grado 2)
- (3+x^2-2x)/(1-4x+3x^2)
- (3+x2-2x)/(1-4x+3x2)
- 3+x2-2x/1-4x+3x2
- 3+x^2-2x/1-4x+3x^2
- (3+x^2-2*x) dividir por (1-4*x+3*x^2)
-
Expresiones semejantes
- (3-x^2-2*x)/(1-4*x+3*x^2)
- (3+x^2-2*x)/(1+4*x+3*x^2)
- (3+x^2+2*x)/(1-4*x+3*x^2)
- (3+x^2-2*x)/(1-4*x-3*x^2)
Límite de la función (3+x^2-2*x)/(1-4*x+3*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| 3 + x - 2*x |
lim |--------------|
x->oo| 2|
\1 - 4*x + 3*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x^{2} + \left(1 - 4 x\right)}\right)$$
Limit((3 + x^2 - 2*x)/(1 - 4*x + 3*x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x^{2} + \left(1 - 4 x\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x^{2} + \left(1 - 4 x\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{3 - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{3 - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u^{2} - 2 u + 1}{u^{2} - 4 u + 3}\right)$$
=
$$\frac{- 0 + 3 \cdot 0^{2} + 1}{0^{2} - 0 + 3} = \frac{1}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x^{2} + \left(1 - 4 x\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x^{2} + \left(1 - 4 x\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x^{2} + \left(1 - 4 x\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{3 - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{3 - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u^{2} - 2 u + 1}{u^{2} - 4 u + 3}\right)$$
=
$$\frac{- 0 + 3 \cdot 0^{2} + 1}{0^{2} - 0 + 3} = \frac{1}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x^{2} + \left(1 - 4 x\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 2 x + 3\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} - 4 x + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x^{2} + \left(1 - 4 x\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 2 x + 3}{3 x^{2} - 4 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 2 x + 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} - 4 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 2}{6 x - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(6 x - 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{3}$$
=
$$\frac{1}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 2 x + 3\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} - 4 x + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x^{2} + \left(1 - 4 x\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 2 x + 3}{3 x^{2} - 4 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 2 x + 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} - 4 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 2}{6 x - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(6 x - 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{3}$$
=
$$\frac{1}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x^{2} + \left(1 - 4 x\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x^{2} + \left(1 - 4 x\right)}\right) = 3$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x^{2} + \left(1 - 4 x\right)}\right) = 3$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x^{2} + \left(1 - 4 x\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x^{2} + \left(1 - 4 x\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x^{2} + \left(1 - 4 x\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x^{2} + \left(1 - 4 x\right)}\right) = 3$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x^{2} + \left(1 - 4 x\right)}\right) = 3$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x^{2} + \left(1 - 4 x\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x^{2} + \left(1 - 4 x\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x^{2} + \left(1 - 4 x\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico