Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Expresiones idénticas
- siete /n+ ocho /sqrt(n)+ nueve /n^ tres
- 7 dividir por n más 8 dividir por raíz cuadrada de (n) más 9 dividir por n al cubo
- siete dividir por n más ocho dividir por raíz cuadrada de (n) más nueve dividir por n en el grado tres
- 7/n+8/√(n)+9/n^3
- 7/n+8/sqrt(n)+9/n3
- 7/n+8/sqrtn+9/n3
- 7/n+8/sqrt(n)+9/n³
- 7/n+8/sqrt(n)+9/n en el grado 3
- 7/n+8/sqrtn+9/n^3
- 7 dividir por n+8 dividir por sqrt(n)+9 dividir por n^3
-
Expresiones semejantes
- 7/n+8/sqrt(n)-9/n^3
- 7/n-8/sqrt(n)+9/n^3
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt((a+x)*(b+x))-x
- sqrt(-1+x+x^2)-sqrt(1+x^2-x)
- sqrt(3+x^2+2*x)-x
- sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x)))/sqrt(1+x)
- sqrt(x)-log(x)
Límite de la función 7/n+8/sqrt(n)+9/n^3
Solución
Ha introducido
[src]
/7 8 9 \
lim |- + ----- + --|
n->oo|n ___ 3|
\ \/ n n /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\left(\frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}}\right) + \frac{9}{n^{3}}\right)$$
Limit(7/n + 8/sqrt(n) + 9/n^3, n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(7 n^{\frac{7}{2}} + 9 n^{\frac{3}{2}} + 8 n^{4}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{\frac{9}{2}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\left(\frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}}\right) + \frac{9}{n^{3}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{9 n^{\frac{3}{2}} + n^{3} \left(7 \sqrt{n} + 8 n\right)}{n^{\frac{9}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(7 n^{\frac{7}{2}} + 9 n^{\frac{3}{2}} + 8 n^{4}\right)}{\frac{d}{d n} n^{\frac{9}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 \left(\frac{49 n^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{27 \sqrt{n}}{2} + 32 n^{3}\right)}{9 n^{\frac{7}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(\frac{49 n^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{27 \sqrt{n}}{2} + 32 n^{3}\right)}{\frac{d}{d n} \frac{9 n^{\frac{7}{2}}}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4 \left(\frac{245 n^{\frac{3}{2}}}{4} + 96 n^{2} + \frac{27}{4 \sqrt{n}}\right)}{63 n^{\frac{5}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(\frac{245 n^{\frac{3}{2}}}{4} + 96 n^{2} + \frac{27}{4 \sqrt{n}}\right)}{\frac{d}{d n} \frac{63 n^{\frac{5}{2}}}{4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{8 \left(\frac{735 \sqrt{n}}{8} + 192 n - \frac{27}{8 n^{\frac{3}{2}}}\right)}{315 n^{\frac{3}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(\frac{735 \sqrt{n}}{8} + 192 n - \frac{27}{8 n^{\frac{3}{2}}}\right)}{\frac{d}{d n} \frac{315 n^{\frac{3}{2}}}{8}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{16 \left(192 + \frac{735}{16 \sqrt{n}} + \frac{81}{16 n^{\frac{5}{2}}}\right)}{945 \sqrt{n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(192 + \frac{735}{16 \sqrt{n}} + \frac{81}{16 n^{\frac{5}{2}}}\right)}{\frac{d}{d n} \frac{945 \sqrt{n}}{16}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{32 \sqrt{n} \left(- \frac{735}{32 n^{\frac{3}{2}}} - \frac{405}{32 n^{\frac{7}{2}}}\right)}{945}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{32 \sqrt{n} \left(- \frac{735}{32 n^{\frac{3}{2}}} - \frac{405}{32 n^{\frac{7}{2}}}\right)}{945}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 5 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(7 n^{\frac{7}{2}} + 9 n^{\frac{3}{2}} + 8 n^{4}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{\frac{9}{2}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\left(\frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}}\right) + \frac{9}{n^{3}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{9 n^{\frac{3}{2}} + n^{3} \left(7 \sqrt{n} + 8 n\right)}{n^{\frac{9}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(7 n^{\frac{7}{2}} + 9 n^{\frac{3}{2}} + 8 n^{4}\right)}{\frac{d}{d n} n^{\frac{9}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 \left(\frac{49 n^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{27 \sqrt{n}}{2} + 32 n^{3}\right)}{9 n^{\frac{7}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(\frac{49 n^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{27 \sqrt{n}}{2} + 32 n^{3}\right)}{\frac{d}{d n} \frac{9 n^{\frac{7}{2}}}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4 \left(\frac{245 n^{\frac{3}{2}}}{4} + 96 n^{2} + \frac{27}{4 \sqrt{n}}\right)}{63 n^{\frac{5}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(\frac{245 n^{\frac{3}{2}}}{4} + 96 n^{2} + \frac{27}{4 \sqrt{n}}\right)}{\frac{d}{d n} \frac{63 n^{\frac{5}{2}}}{4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{8 \left(\frac{735 \sqrt{n}}{8} + 192 n - \frac{27}{8 n^{\frac{3}{2}}}\right)}{315 n^{\frac{3}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(\frac{735 \sqrt{n}}{8} + 192 n - \frac{27}{8 n^{\frac{3}{2}}}\right)}{\frac{d}{d n} \frac{315 n^{\frac{3}{2}}}{8}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{16 \left(192 + \frac{735}{16 \sqrt{n}} + \frac{81}{16 n^{\frac{5}{2}}}\right)}{945 \sqrt{n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(192 + \frac{735}{16 \sqrt{n}} + \frac{81}{16 n^{\frac{5}{2}}}\right)}{\frac{d}{d n} \frac{945 \sqrt{n}}{16}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{32 \sqrt{n} \left(- \frac{735}{32 n^{\frac{3}{2}}} - \frac{405}{32 n^{\frac{7}{2}}}\right)}{945}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{32 \sqrt{n} \left(- \frac{735}{32 n^{\frac{3}{2}}} - \frac{405}{32 n^{\frac{7}{2}}}\right)}{945}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 5 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\left(\frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}}\right) + \frac{9}{n^{3}}\right) = 0$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\left(\frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}}\right) + \frac{9}{n^{3}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\left(\frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}}\right) + \frac{9}{n^{3}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\left(\frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}}\right) + \frac{9}{n^{3}}\right) = 24$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\left(\frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}}\right) + \frac{9}{n^{3}}\right) = 24$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\left(\frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}}\right) + \frac{9}{n^{3}}\right) = 0$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\left(\frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}}\right) + \frac{9}{n^{3}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\left(\frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}}\right) + \frac{9}{n^{3}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\left(\frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}}\right) + \frac{9}{n^{3}}\right) = 24$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\left(\frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}}\right) + \frac{9}{n^{3}}\right) = 24$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\left(\frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}}\right) + \frac{9}{n^{3}}\right) = 0$$
Más detalles con n→-oo
Gráfico