Sr Examen

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-sin(x)/x^3+tan(x)
Límite de la función/ sin(x)/ tan(x)/ -sin(x)/x^3+tan(x)

Límite de la función -sin(x)/x^3+tan(x)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /-sin(x)          \
 lim |-------- + tan(x)|
x->0+|    3            |
     \   x             /
lim⁡x→0+(tan⁡(x)+(−1)sin⁡(x)x3)\lim_{x \to 0^+}\left(\tan{\left(x \right)} + \frac{\left(-1\right) \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) 
Limit((-sin(x))/x^3 + tan(x), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+(x3tan⁡(x)−sin⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(x^{3} \tan{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+x3=0\lim_{x \to 0^+} x^{3} = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(tan⁡(x)+(−1)sin⁡(x)x3)\lim_{x \to 0^+}\left(\tan{\left(x \right)} + \frac{\left(-1\right) \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→0+(x3tan⁡(x)−sin⁡(x)x3)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{3} \tan{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(x3tan⁡(x)−sin⁡(x))ddxx3)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} \tan{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x^{3}}\right)
=
lim⁡x→0+(x3tan⁡2(x)+x3+3x2tan⁡(x)−cos⁡(x)3x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{3} \tan^{2}{\left(x \right)} + x^{3} + 3 x^{2} \tan{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{3 x^{2}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(x3tan⁡2(x)+x3+3x2tan⁡(x)−cos⁡(x))ddx3x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} \tan^{2}{\left(x \right)} + x^{3} + 3 x^{2} \tan{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 3 x^{2}}\right)
=
lim⁡x→0+(2x3tan⁡3(x)+2x3tan⁡(x)+6x2tan⁡2(x)+6x2+6xtan⁡(x)+sin⁡(x)6x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x^{3} \tan^{3}{\left(x \right)} + 2 x^{3} \tan{\left(x \right)} + 6 x^{2} \tan^{2}{\left(x \right)} + 6 x^{2} + 6 x \tan{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{6 x}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(2x3tan⁡3(x)+2x3tan⁡(x)+6x2tan⁡2(x)+6x2+6xtan⁡(x)+sin⁡(x))ddx6x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x^{3} \tan^{3}{\left(x \right)} + 2 x^{3} \tan{\left(x \right)} + 6 x^{2} \tan^{2}{\left(x \right)} + 6 x^{2} + 6 x \tan{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 6 x}\right)
=
lim⁡x→0+(x3tan⁡4(x)+4x3tan⁡2(x)3+x33+3x2tan⁡3(x)+3x2tan⁡(x)+3xtan⁡2(x)+3x+cos⁡(x)6+tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(x^{3} \tan^{4}{\left(x \right)} + \frac{4 x^{3} \tan^{2}{\left(x \right)}}{3} + \frac{x^{3}}{3} + 3 x^{2} \tan^{3}{\left(x \right)} + 3 x^{2} \tan{\left(x \right)} + 3 x \tan^{2}{\left(x \right)} + 3 x + \frac{\cos{\left(x \right)}}{6} + \tan{\left(x \right)}\right)
=
lim⁡x→0+(x3tan⁡4(x)+4x3tan⁡2(x)3+x33+3x2tan⁡3(x)+3x2tan⁡(x)+3xtan⁡2(x)+3x+cos⁡(x)6+tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(x^{3} \tan^{4}{\left(x \right)} + \frac{4 x^{3} \tan^{2}{\left(x \right)}}{3} + \frac{x^{3}}{3} + 3 x^{2} \tan^{3}{\left(x \right)} + 3 x^{2} \tan{\left(x \right)} + 3 x \tan^{2}{\left(x \right)} + 3 x + \frac{\cos{\left(x \right)}}{6} + \tan{\left(x \right)}\right)
=
−∞-\infty
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-2500025000
Trazar el gráfico
Respuesta rápida [src] 
-oo
−∞-\infty
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(tan⁡(x)+(−1)sin⁡(x)x3)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\tan{\left(x \right)} + \frac{\left(-1\right) \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = -\infty
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(tan⁡(x)+(−1)sin⁡(x)x3)=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(\tan{\left(x \right)} + \frac{\left(-1\right) \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = -\infty
lim⁡x→∞(tan⁡(x)+(−1)sin⁡(x)x3)\lim_{x \to \infty}\left(\tan{\left(x \right)} + \frac{\left(-1\right) \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(tan⁡(x)+(−1)sin⁡(x)x3)=−sin⁡(1)+tan⁡(1)\lim_{x \to 1^-}\left(\tan{\left(x \right)} + \frac{\left(-1\right) \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = - \sin{\left(1 \right)} + \tan{\left(1 \right)}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(tan⁡(x)+(−1)sin⁡(x)x3)=−sin⁡(1)+tan⁡(1)\lim_{x \to 1^+}\left(\tan{\left(x \right)} + \frac{\left(-1\right) \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = - \sin{\left(1 \right)} + \tan{\left(1 \right)}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(tan⁡(x)+(−1)sin⁡(x)x3)\lim_{x \to -\infty}\left(\tan{\left(x \right)} + \frac{\left(-1\right) \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /-sin(x)          \
 lim |-------- + tan(x)|
x->0+|    3            |
     \   x             /
lim⁡x→0+(tan⁡(x)+(−1)sin⁡(x)x3)\lim_{x \to 0^+}\left(\tan{\left(x \right)} + \frac{\left(-1\right) \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) 
-oo
−∞-\infty 
= -22800.8267110854
     /-sin(x)          \
 lim |-------- + tan(x)|
x->0-|    3            |
     \   x             /
lim⁡x→0−(tan⁡(x)+(−1)sin⁡(x)x3)\lim_{x \to 0^-}\left(\tan{\left(x \right)} + \frac{\left(-1\right) \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) 
-oo
−∞-\infty 
= -22800.8399563122
= -22800.8399563122
Respuesta numérica [src] 
-22800.8267110854
-22800.8267110854
Gráfico
Límite de la función -sin(x)/x^3+tan(x)
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