Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x e^{x} + \log{\left(x + 1 \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} \left(- x\right) + \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x e^{x} + \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x e^{x} + \log{\left(x + 1 \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x e^{x} - e^{x} + \frac{1}{x + 1}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x e^{x} - e^{x} + \frac{1}{x + 1}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x e^{x}}{2} - e^{x} - \frac{1}{2 \left(x^{2} + 2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x e^{x}}{2} - e^{x} - \frac{1}{2 \left(x^{2} + 2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$- \frac{3}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)