Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1/(1-x)-3/(1-x^3)
-
Límite de sin(3*x)/(2*x)
-
Límite de (1-2*x)^(1/x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- (uno +n)*log(uno +n)/(n*log(n))
- (1 más n) multiplicar por logaritmo de (1 más n) dividir por (n multiplicar por logaritmo de (n))
- (uno más n) multiplicar por logaritmo de (uno más n) dividir por (n multiplicar por logaritmo de (n))
- (1+n)log(1+n)/(nlog(n))
- 1+nlog1+n/nlogn
- (1+n)*log(1+n) dividir por (n*log(n))
-
Expresiones semejantes
- (1+n)*log(1-n)/(n*log(n))
- (1-n)*log(1+n)/(n*log(n))
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(x)/log(1+x)
- log(log(x))
- log(sin(m*x))/log(sin(x))
- log(1+3*x)/x
- log(x)/(-1+x^2)
- Logaritmo log
- log(x)/log(1+x)
- log(log(x))
- log(sin(m*x))/log(sin(x))
- log(1+3*x)/x
- log(x)/(-1+x^2)
Límite de la función (1+n)*log(1+n)/(n*log(n))
Solución
Ha introducido
[src]
/(1 + n)*log(1 + n)\ lim |------------------| n->oo\ n*log(n) /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(n + 1 \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right)$$
Limit(((1 + n)*log(1 + n))/((n*log(n))), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \log{\left(n + 1 \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \log{\left(n \right)}}{n + 1}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(n + 1 \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(n + 1 \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \log{\left(n + 1 \right)}}{\frac{d}{d n} \frac{n \log{\left(n \right)}}{n + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{\left(n + 1\right) \left(- \frac{n \log{\left(n \right)}}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{\log{\left(n \right)}}{n + 1} + \frac{1}{n + 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{1}{- \frac{n \log{\left(n \right)}}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{\log{\left(n \right)}}{n + 1} + \frac{1}{n + 1}}}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{n \left(- 2 n - 2\right) \log{\left(n \right)}}{\left(n^{2} + 2 n + 1\right)^{2}} + \frac{\log{\left(n \right)}}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{1}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{\log{\left(n \right)}}{\left(n + 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(n + 1\right)^{2}} - \frac{1}{n \left(n + 1\right)}}{\left(- \frac{n \log{\left(n \right)}}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{\log{\left(n \right)}}{n + 1} + \frac{1}{n + 1}\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{n \left(- 2 n - 2\right) \log{\left(n \right)}}{\left(n^{2} + 2 n + 1\right)^{2}} + \frac{\log{\left(n \right)}}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{1}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{\log{\left(n \right)}}{\left(n + 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(n + 1\right)^{2}} - \frac{1}{n \left(n + 1\right)}}{\left(- \frac{n \log{\left(n \right)}}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{\log{\left(n \right)}}{n + 1} + \frac{1}{n + 1}\right)^{2}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \log{\left(n + 1 \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \log{\left(n \right)}}{n + 1}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(n + 1 \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(n + 1 \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \log{\left(n + 1 \right)}}{\frac{d}{d n} \frac{n \log{\left(n \right)}}{n + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{\left(n + 1\right) \left(- \frac{n \log{\left(n \right)}}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{\log{\left(n \right)}}{n + 1} + \frac{1}{n + 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{1}{- \frac{n \log{\left(n \right)}}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{\log{\left(n \right)}}{n + 1} + \frac{1}{n + 1}}}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{n \left(- 2 n - 2\right) \log{\left(n \right)}}{\left(n^{2} + 2 n + 1\right)^{2}} + \frac{\log{\left(n \right)}}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{1}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{\log{\left(n \right)}}{\left(n + 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(n + 1\right)^{2}} - \frac{1}{n \left(n + 1\right)}}{\left(- \frac{n \log{\left(n \right)}}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{\log{\left(n \right)}}{n + 1} + \frac{1}{n + 1}\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{n \left(- 2 n - 2\right) \log{\left(n \right)}}{\left(n^{2} + 2 n + 1\right)^{2}} + \frac{\log{\left(n \right)}}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{1}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{\log{\left(n \right)}}{\left(n + 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(n + 1\right)^{2}} - \frac{1}{n \left(n + 1\right)}}{\left(- \frac{n \log{\left(n \right)}}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{\log{\left(n \right)}}{n + 1} + \frac{1}{n + 1}\right)^{2}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(n + 1 \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(n + 1 \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(n + 1 \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(n + 1 \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(n + 1 \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(n + 1 \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(n + 1 \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(n + 1 \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(n + 1 \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(n + 1 \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(n + 1 \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo