Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \left(2 n + 1\right)! = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(2 n\right)! \left(n + 1\right)!}{n^{2}}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2} \left(2 n + 1\right)!}{\left(2 n\right)! \left(n + 1\right)!}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2} \left(2 n + 1\right)!}{\left(2 n\right)! \left(n + 1\right)!}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(2 n + 1\right)!}{\frac{d}{d n} \frac{\left(2 n\right)! \left(n + 1\right)!}{n^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 \Gamma\left(2 n + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,2 n + 2 \right)}}{\frac{\left(2 n\right)! \Gamma\left(n + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 2 \right)}}{n^{2}} + \frac{2 \left(n + 1\right)! \Gamma\left(2 n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,2 n + 1 \right)}}{n^{2}} - \frac{2 \left(2 n\right)! \left(n + 1\right)!}{n^{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 \Gamma\left(2 n + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,2 n + 2 \right)}}{\frac{\left(2 n\right)! \Gamma\left(n + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 2 \right)}}{n^{2}} + \frac{2 \left(n + 1\right)! \Gamma\left(2 n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,2 n + 1 \right)}}{n^{2}} - \frac{2 \left(2 n\right)! \left(n + 1\right)!}{n^{3}}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)