Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(4*x))/(-4+sqrt(16+x^2))
-
Límite de (1-x^4+4*x)/(x+2*x^4+3*x^2)
-
Límite de x^(5/x)
-
Límite de (-4+x)*(-log(5-3*x)+log(2-3*x))
-
Expresiones idénticas
- tan(dos *x)/(ocho *x)
- tangente de (2 multiplicar por x) dividir por (8 multiplicar por x)
- tangente de (dos multiplicar por x) dividir por (ocho multiplicar por x)
- tan(2x)/(8x)
- tan2x/8x
- tan(2*x) dividir por (8*x)
-
Expresiones con funciones
- Tangente tan
- tan(pi/(2+n))
- tan(x)/(1-cos(x)^(2/3))
- tan(16*x)^2/(asin(4*x)*sin(2*x))
- tan(2*pi*x)/cos(3*pi*x/2)
- tan(x)^2/(sqrt(2)-sqrt(1+cos(2*x)))
Límite de la función tan(2*x)/(8*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/tan(2*x)\ lim |--------| x->0+\ 8*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{8 x}\right)$$
Limit(tan(2*x)/((8*x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{8 x}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{8 x}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{1}{8 x} \sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{8 x} \sin{\left(2 x \right)}\right) \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}} = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{8 x} \sin{\left(2 x \right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = 2 x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8 x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{4 u}\right)$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{4}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{8 x}\right) = \frac{1}{4}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{8 x}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{8 x}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{1}{8 x} \sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{8 x} \sin{\left(2 x \right)}\right) \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}} = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{8 x} \sin{\left(2 x \right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = 2 x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8 x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{4 u}\right)$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{4}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{8 x}\right) = \frac{1}{4}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(2 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(8 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{8 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{8 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} 8 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{1}{4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{1}{4}\right)$$
=
$$\frac{1}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(2 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(8 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{8 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{8 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} 8 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{1}{4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{1}{4}\right)$$
=
$$\frac{1}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/tan(2*x)\ lim |--------| x->0+\ 8*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{8 x}\right)$$
1/4
$$\frac{1}{4}$$
= 0.25
/tan(2*x)\ lim |--------| x->0-\ 8*x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{8 x}\right)$$
1/4
$$\frac{1}{4}$$
= 0.25
= 0.25
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{8 x}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{8 x}\right) = \frac{1}{4}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{8 x}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{8 x}\right) = \frac{\tan{\left(2 \right)}}{8}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{8 x}\right) = \frac{\tan{\left(2 \right)}}{8}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{8 x}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{8 x}\right) = \frac{1}{4}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{8 x}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{8 x}\right) = \frac{\tan{\left(2 \right)}}{8}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{8 x}\right) = \frac{\tan{\left(2 \right)}}{8}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{8 x}\right)$$
Más detalles con x→-oo