Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+} \tan{\left(2 \pi x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+} \cos{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\tan{\left(2 \pi x \right)}}{\cos{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\tan{\left(2 \pi x \right)}}{\cos{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan{\left(2 \pi x \right)}}{\frac{d}{d x} \cos{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{4 \left(\tan^{2}{\left(2 \pi x \right)} + 1\right)}{3 \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \tan^{2}{\left(2 \pi x \right)} + 2}{\frac{3 \tan^{2}{\left(2 \pi x \right)}}{2} + \frac{3}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \tan^{2}{\left(2 \pi x \right)} + 2}{\frac{3 \tan^{2}{\left(2 \pi x \right)}}{2} + \frac{3}{2}}\right)$$
=
$$\frac{4}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)