Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-2*x^2+2*x^3)/(-4*x^2+5*x^3)
-
Límite de (-2+x)/(-2+sqrt(2)*sqrt(x))
-
Límite de (1-cos(x)^2)/(x^2-sin(x)^2)
-
Límite de (sqrt(2-x)-sqrt(6+x))/(-6+x^2-x)
-
Expresiones idénticas
- (uno +n)/(sqrt(n)*sqrt(dos +n))
- (1 más n) dividir por ( raíz cuadrada de (n) multiplicar por raíz cuadrada de (2 más n))
- (uno más n) dividir por ( raíz cuadrada de (n) multiplicar por raíz cuadrada de (dos más n))
- (1+n)/(√(n)*√(2+n))
- (1+n)/(sqrt(n)sqrt(2+n))
- 1+n/sqrtnsqrt2+n
- (1+n) dividir por (sqrt(n)*sqrt(2+n))
-
Expresiones semejantes
- (1-n)/(sqrt(n)*sqrt(2+n))
- (1+n)/(sqrt(n)*sqrt(2-n))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1+(1+n)^2)*(1+n)/(n*sqrt(1+n^2))
- sqrt((-27+8*x^3)/(-9+4*x^2))
- sqrt(1-tan(x))-sqrt(1+tan(x))/sin(2*x)
- sqrt(x)*(sqrt(1+x)-sqrt(-3+x))
- sqrt(x)/sqrt(x+sqrt(x))
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1+(1+n)^2)*(1+n)/(n*sqrt(1+n^2))
- sqrt((-27+8*x^3)/(-9+4*x^2))
- sqrt(1-tan(x))-sqrt(1+tan(x))/sin(2*x)
- sqrt(x)*(sqrt(1+x)-sqrt(-3+x))
- sqrt(x)/sqrt(x+sqrt(x))
Límite de la función (1+n)/(sqrt(n)*sqrt(2+n))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 1 + n \
lim |---------------|
n->oo| ___ _______|
\\/ n *\/ 2 + n /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n} \sqrt{n + 2}}\right)$$
Limit((1 + n)/((sqrt(n)*sqrt(2 + n))), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n + 2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n} \sqrt{n + 2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n} \sqrt{n + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{n + 1}{\sqrt{n}}}{\frac{d}{d n} \sqrt{n + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(2 \left(\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{n + 1}{2 n^{\frac{3}{2}}}\right) \sqrt{n + 2}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 2 \sqrt{n + 2}}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{n + 1}{2 n^{\frac{3}{2}}}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{n + 1}{2 n^{\frac{3}{2}}}\right)^{2}}{\left(\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \left(n + 1\right)}{4 n^{\frac{5}{2}}}\right) \sqrt{n + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{1}{\left(\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \left(n + 1\right)}{4 n^{\frac{5}{2}}}\right) \sqrt{n + 2}}}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{n + 1}{2 n^{\frac{3}{2}}}\right)^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \frac{15}{\frac{\sqrt{n} \sqrt{n + 2}}{2} - \frac{3 \sqrt{n + 2}}{\sqrt{n}} + \frac{9 \sqrt{n + 2}}{2 n^{\frac{3}{2}}}} - \frac{1}{\frac{\sqrt{n + 2}}{2 \sqrt{n}} - \frac{\sqrt{n + 2}}{2 n^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \sqrt{n + 2}}{n^{\frac{5}{2}}}} + \frac{3}{\frac{\sqrt{n + 2}}{2 \sqrt{n}} - \frac{3 \sqrt{n + 2}}{n^{\frac{3}{2}}} + \frac{9 \sqrt{n + 2}}{2 n^{\frac{5}{2}}}}}{- \frac{3}{\frac{n}{4} - \frac{3}{4} + \frac{3}{4 n} - \frac{1}{4 n^{2}}} + \frac{1}{\frac{1}{4} - \frac{3}{4 n} + \frac{3}{4 n^{2}} - \frac{1}{4 n^{3}}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \frac{15}{\frac{\sqrt{n} \sqrt{n + 2}}{2} - \frac{3 \sqrt{n + 2}}{\sqrt{n}} + \frac{9 \sqrt{n + 2}}{2 n^{\frac{3}{2}}}} - \frac{1}{\frac{\sqrt{n + 2}}{2 \sqrt{n}} - \frac{\sqrt{n + 2}}{2 n^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \sqrt{n + 2}}{n^{\frac{5}{2}}}} + \frac{3}{\frac{\sqrt{n + 2}}{2 \sqrt{n}} - \frac{3 \sqrt{n + 2}}{n^{\frac{3}{2}}} + \frac{9 \sqrt{n + 2}}{2 n^{\frac{5}{2}}}}}{- \frac{3}{\frac{n}{4} - \frac{3}{4} + \frac{3}{4 n} - \frac{1}{4 n^{2}}} + \frac{1}{\frac{1}{4} - \frac{3}{4 n} + \frac{3}{4 n^{2}} - \frac{1}{4 n^{3}}}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n + 2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n} \sqrt{n + 2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n} \sqrt{n + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{n + 1}{\sqrt{n}}}{\frac{d}{d n} \sqrt{n + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(2 \left(\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{n + 1}{2 n^{\frac{3}{2}}}\right) \sqrt{n + 2}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 2 \sqrt{n + 2}}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{n + 1}{2 n^{\frac{3}{2}}}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{n + 1}{2 n^{\frac{3}{2}}}\right)^{2}}{\left(\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \left(n + 1\right)}{4 n^{\frac{5}{2}}}\right) \sqrt{n + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{1}{\left(\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \left(n + 1\right)}{4 n^{\frac{5}{2}}}\right) \sqrt{n + 2}}}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{n + 1}{2 n^{\frac{3}{2}}}\right)^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \frac{15}{\frac{\sqrt{n} \sqrt{n + 2}}{2} - \frac{3 \sqrt{n + 2}}{\sqrt{n}} + \frac{9 \sqrt{n + 2}}{2 n^{\frac{3}{2}}}} - \frac{1}{\frac{\sqrt{n + 2}}{2 \sqrt{n}} - \frac{\sqrt{n + 2}}{2 n^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \sqrt{n + 2}}{n^{\frac{5}{2}}}} + \frac{3}{\frac{\sqrt{n + 2}}{2 \sqrt{n}} - \frac{3 \sqrt{n + 2}}{n^{\frac{3}{2}}} + \frac{9 \sqrt{n + 2}}{2 n^{\frac{5}{2}}}}}{- \frac{3}{\frac{n}{4} - \frac{3}{4} + \frac{3}{4 n} - \frac{1}{4 n^{2}}} + \frac{1}{\frac{1}{4} - \frac{3}{4 n} + \frac{3}{4 n^{2}} - \frac{1}{4 n^{3}}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \frac{15}{\frac{\sqrt{n} \sqrt{n + 2}}{2} - \frac{3 \sqrt{n + 2}}{\sqrt{n}} + \frac{9 \sqrt{n + 2}}{2 n^{\frac{3}{2}}}} - \frac{1}{\frac{\sqrt{n + 2}}{2 \sqrt{n}} - \frac{\sqrt{n + 2}}{2 n^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \sqrt{n + 2}}{n^{\frac{5}{2}}}} + \frac{3}{\frac{\sqrt{n + 2}}{2 \sqrt{n}} - \frac{3 \sqrt{n + 2}}{n^{\frac{3}{2}}} + \frac{9 \sqrt{n + 2}}{2 n^{\frac{5}{2}}}}}{- \frac{3}{\frac{n}{4} - \frac{3}{4} + \frac{3}{4 n} - \frac{1}{4 n^{2}}} + \frac{1}{\frac{1}{4} - \frac{3}{4 n} + \frac{3}{4 n^{2}} - \frac{1}{4 n^{3}}}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n} \sqrt{n + 2}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n} \sqrt{n + 2}}\right) = - \infty i$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n} \sqrt{n + 2}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n} \sqrt{n + 2}}\right) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n} \sqrt{n + 2}}\right) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n} \sqrt{n + 2}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n} \sqrt{n + 2}}\right) = - \infty i$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n} \sqrt{n + 2}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n} \sqrt{n + 2}}\right) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n} \sqrt{n + 2}}\right) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n} \sqrt{n + 2}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo