Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- (nueve - tres *x^ dos + seis *x)/(trece +x^ dos - dos *x)
- (9 menos 3 multiplicar por x al cuadrado más 6 multiplicar por x) dividir por (13 más x al cuadrado menos 2 multiplicar por x)
- (nueve menos tres multiplicar por x en el grado dos más seis multiplicar por x) dividir por (trece más x en el grado dos menos dos multiplicar por x)
- (9-3*x2+6*x)/(13+x2-2*x)
- 9-3*x2+6*x/13+x2-2*x
- (9-3*x²+6*x)/(13+x²-2*x)
- (9-3*x en el grado 2+6*x)/(13+x en el grado 2-2*x)
- (9-3x^2+6x)/(13+x^2-2x)
- (9-3x2+6x)/(13+x2-2x)
- 9-3x2+6x/13+x2-2x
- 9-3x^2+6x/13+x^2-2x
- (9-3*x^2+6*x) dividir por (13+x^2-2*x)
-
Expresiones semejantes
- (9-3*x^2+6*x)/(13-x^2-2*x)
- (9-3*x^2-6*x)/(13+x^2-2*x)
- (9+3*x^2+6*x)/(13+x^2-2*x)
- (9-3*x^2+6*x)/(13+x^2+2*x)
Límite de la función (9-3*x^2+6*x)/(13+x^2-2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|9 - 3*x + 6*x|
lim |--------------|
x->oo| 2 |
\13 + x - 2*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(9 - 3 x^{2}\right)}{- 2 x + \left(x^{2} + 13\right)}\right)$$
Limit((9 - 3*x^2 + 6*x)/(13 + x^2 - 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(9 - 3 x^{2}\right)}{- 2 x + \left(x^{2} + 13\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(9 - 3 x^{2}\right)}{- 2 x + \left(x^{2} + 13\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-3 + \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x} + \frac{13}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-3 + \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x} + \frac{13}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{9 u^{2} + 6 u - 3}{13 u^{2} - 2 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{-3 + 0 \cdot 6 + 9 \cdot 0^{2}}{- 0 + 13 \cdot 0^{2} + 1} = -3$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(9 - 3 x^{2}\right)}{- 2 x + \left(x^{2} + 13\right)}\right) = -3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(9 - 3 x^{2}\right)}{- 2 x + \left(x^{2} + 13\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(9 - 3 x^{2}\right)}{- 2 x + \left(x^{2} + 13\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-3 + \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x} + \frac{13}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-3 + \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x} + \frac{13}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{9 u^{2} + 6 u - 3}{13 u^{2} - 2 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{-3 + 0 \cdot 6 + 9 \cdot 0^{2}}{- 0 + 13 \cdot 0^{2} + 1} = -3$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(9 - 3 x^{2}\right)}{- 2 x + \left(x^{2} + 13\right)}\right) = -3$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x^{2} + 6 x + 9\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 2 x + 13\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(9 - 3 x^{2}\right)}{- 2 x + \left(x^{2} + 13\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \left(- x^{2} + 2 x + 3\right)}{x^{2} - 2 x + 13}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 3 x^{2} + 6 x + 9\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 2 x + 13\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 - 6 x}{2 x - 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6 - 6 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -3$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -3$$
=
$$-3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x^{2} + 6 x + 9\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 2 x + 13\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(9 - 3 x^{2}\right)}{- 2 x + \left(x^{2} + 13\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \left(- x^{2} + 2 x + 3\right)}{x^{2} - 2 x + 13}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 3 x^{2} + 6 x + 9\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 2 x + 13\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 - 6 x}{2 x - 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6 - 6 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -3$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -3$$
=
$$-3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(9 - 3 x^{2}\right)}{- 2 x + \left(x^{2} + 13\right)}\right) = -3$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 x + \left(9 - 3 x^{2}\right)}{- 2 x + \left(x^{2} + 13\right)}\right) = \frac{9}{13}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x + \left(9 - 3 x^{2}\right)}{- 2 x + \left(x^{2} + 13\right)}\right) = \frac{9}{13}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 x + \left(9 - 3 x^{2}\right)}{- 2 x + \left(x^{2} + 13\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 x + \left(9 - 3 x^{2}\right)}{- 2 x + \left(x^{2} + 13\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6 x + \left(9 - 3 x^{2}\right)}{- 2 x + \left(x^{2} + 13\right)}\right) = -3$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 x + \left(9 - 3 x^{2}\right)}{- 2 x + \left(x^{2} + 13\right)}\right) = \frac{9}{13}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x + \left(9 - 3 x^{2}\right)}{- 2 x + \left(x^{2} + 13\right)}\right) = \frac{9}{13}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 x + \left(9 - 3 x^{2}\right)}{- 2 x + \left(x^{2} + 13\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 x + \left(9 - 3 x^{2}\right)}{- 2 x + \left(x^{2} + 13\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6 x + \left(9 - 3 x^{2}\right)}{- 2 x + \left(x^{2} + 13\right)}\right) = -3$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico