Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((3+x)/(-2+x))^x
-
Límite de (-9+x^2)/(3+x)
-
Límite de (4+x^2-5*x)/(8+x^2-6*x)
-
Límite de -5+x+x^3
-
Expresiones idénticas
- - ocho *(uno -x^ dos -cos(x)+x*sin(x)/ dos)/x^ cuatro
- menos 8 multiplicar por (1 menos x al cuadrado menos coseno de (x) más x multiplicar por seno de (x) dividir por 2) dividir por x en el grado 4
- menos ocho multiplicar por (uno menos x en el grado dos menos coseno de (x) más x multiplicar por seno de (x) dividir por dos) dividir por x en el grado cuatro
- -8*(1-x2-cos(x)+x*sin(x)/2)/x4
- -8*1-x2-cosx+x*sinx/2/x4
- -8*(1-x²-cos(x)+x*sin(x)/2)/x⁴
- -8*(1-x en el grado 2-cos(x)+x*sin(x)/2)/x en el grado 4
- -8(1-x^2-cos(x)+xsin(x)/2)/x^4
- -8(1-x2-cos(x)+xsin(x)/2)/x4
- -81-x2-cosx+xsinx/2/x4
- -81-x^2-cosx+xsinx/2/x^4
- -8*(1-x^2-cos(x)+x*sin(x) dividir por 2) dividir por x^4
-
Expresiones semejantes
- 8*(1-x^2-cos(x)+x*sin(x)/2)/x^4
- -8*(1-x^2+cos(x)+x*sin(x)/2)/x^4
- -8*(1-x^2-cos(x)-x*sin(x)/2)/x^4
- -8*(1+x^2-cos(x)+x*sin(x)/2)/x^4
- -8*(1-x^2-cosx+x*sinx/2)/x^4
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)^(sin(x)^(-2))
- cos(x)/(2*x)+5*x/(7+3*x)
- cos(m/x)^x
- cos(2*x)/sin(3*x)
- cos(x)*log(pi-2*x)
- Seno sin
- sin(-2+x)/(-2+x)
- sin(3*x)/(3*x)
- sin(x^2)/x
- sin(1)/x
- sin(x)/|x|
Límite de la función -8*(1-x^2-cos(x)+x*sin(x)/2)/x^4
Solución
Ha introducido
[src]
/ / 2 x*sin(x)\\
|-8*|1 - x - cos(x) + --------||
| \ 2 /|
lim |-------------------------------|
x->0+| 4 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-1\right) 8 \left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \left(\left(1 - x^{2}\right) - \cos{\left(x \right)}\right)\right)}{x^{4}}\right)$$
Limit((-8*(1 - x^2 - cos(x) + (x*sin(x))/2))/x^4, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- 2 x^{2} + x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 2\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x^{4}}{4}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-1\right) 8 \left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \left(\left(1 - x^{2}\right) - \cos{\left(x \right)}\right)\right)}{x^{4}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{4 \left(- 2 x^{2} + x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 2\right)}{x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 x^{2} + x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(- \frac{x^{4}}{4}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x \cos{\left(x \right)} - 4 x + 3 \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x \cos{\left(x \right)} - 4 x + 3 \sin{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(- x^{3}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{- x \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)} - 4}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)} - 4\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 3 x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{- x \cos{\left(x \right)} - 5 \sin{\left(x \right)}}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x \cos{\left(x \right)} - 5 \sin{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 6 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{6} + \cos{\left(x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{6} + \cos{\left(x \right)}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- 2 x^{2} + x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 2\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x^{4}}{4}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-1\right) 8 \left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \left(\left(1 - x^{2}\right) - \cos{\left(x \right)}\right)\right)}{x^{4}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{4 \left(- 2 x^{2} + x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 2\right)}{x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 x^{2} + x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(- \frac{x^{4}}{4}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x \cos{\left(x \right)} - 4 x + 3 \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x \cos{\left(x \right)} - 4 x + 3 \sin{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(- x^{3}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{- x \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)} - 4}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)} - 4\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 3 x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{- x \cos{\left(x \right)} - 5 \sin{\left(x \right)}}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x \cos{\left(x \right)} - 5 \sin{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 6 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{6} + \cos{\left(x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{6} + \cos{\left(x \right)}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ / 2 x*sin(x)\\
|-8*|1 - x - cos(x) + --------||
| \ 2 /|
lim |-------------------------------|
x->0+| 4 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-1\right) 8 \left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \left(\left(1 - x^{2}\right) - \cos{\left(x \right)}\right)\right)}{x^{4}}\right)$$
1
$$1$$
= 1
/ / 2 x*sin(x)\\
|-8*|1 - x - cos(x) + --------||
| \ 2 /|
lim |-------------------------------|
x->0-| 4 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(-1\right) 8 \left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \left(\left(1 - x^{2}\right) - \cos{\left(x \right)}\right)\right)}{x^{4}}\right)$$
1
$$1$$
= 1
= 1
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(-1\right) 8 \left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \left(\left(1 - x^{2}\right) - \cos{\left(x \right)}\right)\right)}{x^{4}}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-1\right) 8 \left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \left(\left(1 - x^{2}\right) - \cos{\left(x \right)}\right)\right)}{x^{4}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) 8 \left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \left(\left(1 - x^{2}\right) - \cos{\left(x \right)}\right)\right)}{x^{4}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(-1\right) 8 \left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \left(\left(1 - x^{2}\right) - \cos{\left(x \right)}\right)\right)}{x^{4}}\right) = - 4 \sin{\left(1 \right)} + 8 \cos{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(-1\right) 8 \left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \left(\left(1 - x^{2}\right) - \cos{\left(x \right)}\right)\right)}{x^{4}}\right) = - 4 \sin{\left(1 \right)} + 8 \cos{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) 8 \left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \left(\left(1 - x^{2}\right) - \cos{\left(x \right)}\right)\right)}{x^{4}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-1\right) 8 \left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \left(\left(1 - x^{2}\right) - \cos{\left(x \right)}\right)\right)}{x^{4}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) 8 \left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \left(\left(1 - x^{2}\right) - \cos{\left(x \right)}\right)\right)}{x^{4}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(-1\right) 8 \left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \left(\left(1 - x^{2}\right) - \cos{\left(x \right)}\right)\right)}{x^{4}}\right) = - 4 \sin{\left(1 \right)} + 8 \cos{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(-1\right) 8 \left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \left(\left(1 - x^{2}\right) - \cos{\left(x \right)}\right)\right)}{x^{4}}\right) = - 4 \sin{\left(1 \right)} + 8 \cos{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) 8 \left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \left(\left(1 - x^{2}\right) - \cos{\left(x \right)}\right)\right)}{x^{4}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo