Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de (1-cos(4*x))/(2*x*tan(2*x))
-
Límite de (1+3*x)^(1/x)
-
Límite de -6+8*x/3
-
Expresiones idénticas
- (x^ cuatro -x^ dos)/(uno +x^ tres + tres *x^ cuatro)
- (x en el grado 4 menos x al cuadrado ) dividir por (1 más x al cubo más 3 multiplicar por x en el grado 4)
- (x en el grado cuatro menos x en el grado dos) dividir por (uno más x en el grado tres más tres multiplicar por x en el grado cuatro)
- (x4-x2)/(1+x3+3*x4)
- x4-x2/1+x3+3*x4
- (x⁴-x²)/(1+x³+3*x⁴)
- (x en el grado 4-x en el grado 2)/(1+x en el grado 3+3*x en el grado 4)
- (x^4-x^2)/(1+x^3+3x^4)
- (x4-x2)/(1+x3+3x4)
- x4-x2/1+x3+3x4
- x^4-x^2/1+x^3+3x^4
- (x^4-x^2) dividir por (1+x^3+3*x^4)
-
Expresiones semejantes
- (x^4+x^2)/(1+x^3+3*x^4)
- (x^4-x^2)/(1+x^3-3*x^4)
- (x^4-x^2)/(1-x^3+3*x^4)
Límite de la función (x^4-x^2)/(1+x^3+3*x^4)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 4 2 \
| x - x |
lim |-------------|
x->oo| 3 4|
\1 + x + 3*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - x^{2}}{3 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}\right)$$
Limit((x^4 - x^2)/(1 + x^3 + 3*x^4), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - x^{2}}{3 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - x^{2}}{3 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{1 - u^{2}}{u^{4} + u + 3}\right)$$
=
$$\frac{1 - 0^{2}}{0^{4} + 3} = \frac{1}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - x^{2}}{3 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - x^{2}}{3 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - x^{2}}{3 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{1 - u^{2}}{u^{4} + u + 3}\right)$$
=
$$\frac{1 - 0^{2}}{0^{4} + 3} = \frac{1}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - x^{2}}{3 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(x^{2} - 1\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{4} + x^{3} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - x^{2}}{3 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(x^{2} - 1\right)}{3 x^{4} + x^{3} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2} \left(x^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{4} + x^{3} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} - 2 x}{12 x^{3} + 3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} - 2 x}{12 x^{3} + 3 x^{2}}\right)$$
=
$$\frac{1}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(x^{2} - 1\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{4} + x^{3} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - x^{2}}{3 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(x^{2} - 1\right)}{3 x^{4} + x^{3} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2} \left(x^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{4} + x^{3} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} - 2 x}{12 x^{3} + 3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} - 2 x}{12 x^{3} + 3 x^{2}}\right)$$
=
$$\frac{1}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - x^{2}}{3 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{4} - x^{2}}{3 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{4} - x^{2}}{3 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{4} - x^{2}}{3 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{4} - x^{2}}{3 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - x^{2}}{3 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{4} - x^{2}}{3 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{4} - x^{2}}{3 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{4} - x^{2}}{3 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{4} - x^{2}}{3 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - x^{2}}{3 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→-oo