Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - e^{\frac{4}{x}}} = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- \frac{4}{x}}}{\operatorname{atan}{\left(\frac{3}{x + 2} \right)}}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3}{x + 2} \right)}}{-1 + e^{- \frac{4}{x}}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{4}{x}} \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{x + 2} \right)}}{1 - e^{\frac{4}{x}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{1 - e^{\frac{4}{x}}}}{\frac{d}{d x} \frac{e^{- \frac{4}{x}}}{\operatorname{atan}{\left(\frac{3}{x + 2} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{4 e^{\frac{4}{x}}}{x^{2} \left(1 - e^{\frac{4}{x}}\right)^{2} \left(\frac{3 e^{- \frac{4}{x}}}{\left(1 + \frac{9}{\left(x + 2\right)^{2}}\right) \left(x + 2\right)^{2} \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{3}{x + 2} \right)}} + \frac{4 e^{- \frac{4}{x}}}{x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{x + 2} \right)}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(\frac{3}{x^{2} e^{\frac{4}{x}} \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{3}{x + 2} \right)} + \frac{9 x^{2} e^{\frac{4}{x}} \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{3}{x + 2} \right)}}{x^{2} + 4 x + 4} + 4 x e^{\frac{4}{x}} \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{3}{x + 2} \right)} + \frac{36 x e^{\frac{4}{x}} \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{3}{x + 2} \right)}}{x^{2} + 4 x + 4} + 4 e^{\frac{4}{x}} \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{3}{x + 2} \right)} + \frac{36 e^{\frac{4}{x}} \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{3}{x + 2} \right)}}{x^{2} + 4 x + 4}} + \frac{4 e^{- \frac{4}{x}}}{x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{x + 2} \right)}}\right) \left(- \frac{x^{2} e^{\frac{8}{x}}}{4} + \frac{x^{2} e^{\frac{4}{x}}}{2} - \frac{x^{2}}{4}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(\frac{3}{x^{2} e^{\frac{4}{x}} \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{3}{x + 2} \right)} + \frac{9 x^{2} e^{\frac{4}{x}} \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{3}{x + 2} \right)}}{x^{2} + 4 x + 4} + 4 x e^{\frac{4}{x}} \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{3}{x + 2} \right)} + \frac{36 x e^{\frac{4}{x}} \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{3}{x + 2} \right)}}{x^{2} + 4 x + 4} + 4 e^{\frac{4}{x}} \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{3}{x + 2} \right)} + \frac{36 e^{\frac{4}{x}} \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{3}{x + 2} \right)}}{x^{2} + 4 x + 4}} + \frac{4 e^{- \frac{4}{x}}}{x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{x + 2} \right)}}\right) \left(- \frac{x^{2} e^{\frac{8}{x}}}{4} + \frac{x^{2} e^{\frac{4}{x}}}{2} - \frac{x^{2}}{4}\right)}\right)$$
=
$$- \frac{3}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)