Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 4-3*x+2*x^2
-
Límite de ((3+x)/(-2+x))^x
-
Límite de (-8+x^3)/(-6+x+x^2)
-
Límite de (-3+sqrt(1+2*x))/(sqrt(-2+x)-sqrt(2))
-
Expresiones idénticas
- (uno -cos(dos /x))*(cinco +x^ dos + tres *x)
- (1 menos coseno de (2 dividir por x)) multiplicar por (5 más x al cuadrado más 3 multiplicar por x)
- (uno menos coseno de (dos dividir por x)) multiplicar por (cinco más x en el grado dos más tres multiplicar por x)
- (1-cos(2/x))*(5+x2+3*x)
- 1-cos2/x*5+x2+3*x
- (1-cos(2/x))*(5+x²+3*x)
- (1-cos(2/x))*(5+x en el grado 2+3*x)
- (1-cos(2/x))(5+x^2+3x)
- (1-cos(2/x))(5+x2+3x)
- 1-cos2/x5+x2+3x
- 1-cos2/x5+x^2+3x
- (1-cos(2 dividir por x))*(5+x^2+3*x)
-
Expresiones semejantes
- (1-cos(2/x))*(5+x^2-3*x)
- (1+cos(2/x))*(5+x^2+3*x)
- (1-cos(2/x))*(5-x^2+3*x)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)*sin(x)
- cos(m/x)^x
- cos(2*x)/sin(3*x)
- cos(x)*log(pi-2*x)
- cos(x)*log(x)/x^2
Límite de la función (1-cos(2/x))*(5+x^2+3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
// /2\\ / 2 \\ lim ||1 - cos|-||*\5 + x + 3*x/| x->oo\\ \x// /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right) \left(3 x + \left(x^{2} + 5\right)\right)\right)$$
Limit((1 - cos(2/x))*(5 + x^2 + 3*x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 3 x + 5\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right) \left(3 x + \left(x^{2} + 5\right)\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right) \left(x^{2} + 3 x + 5\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 3 x + 5\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{2 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x^{2} \left(2 x + 3\right)}{2 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right)^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{3 x^{2}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}} + \frac{3 x}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}} + \frac{2 x \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)}} + \frac{3 \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) \left(- x^{2} \cos^{3}{\left(\frac{2}{x} \right)} + 3 x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)} - 3 x^{2} \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} + x^{2}\right)}{4 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{3 x^{2}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}} + \frac{3 x}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}} + \frac{2 x \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)}} + \frac{3 \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) \left(- x^{2} \cos^{3}{\left(\frac{2}{x} \right)} + 3 x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)} - 3 x^{2} \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} + x^{2}\right)}{4 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 3 x + 5\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right) \left(3 x + \left(x^{2} + 5\right)\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right) \left(x^{2} + 3 x + 5\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 3 x + 5\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{2 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x^{2} \left(2 x + 3\right)}{2 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right)^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{3 x^{2}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}} + \frac{3 x}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}} + \frac{2 x \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)}} + \frac{3 \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) \left(- x^{2} \cos^{3}{\left(\frac{2}{x} \right)} + 3 x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)} - 3 x^{2} \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} + x^{2}\right)}{4 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{3 x^{2}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}} + \frac{3 x}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}} + \frac{2 x \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)}} + \frac{3 \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) \left(- x^{2} \cos^{3}{\left(\frac{2}{x} \right)} + 3 x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)} - 3 x^{2} \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} + x^{2}\right)}{4 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right) \left(3 x + \left(x^{2} + 5\right)\right)\right) = 2$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right) \left(3 x + \left(x^{2} + 5\right)\right)\right) = \left\langle 0, 10\right\rangle$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right) \left(3 x + \left(x^{2} + 5\right)\right)\right) = \left\langle 0, 10\right\rangle$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right) \left(3 x + \left(x^{2} + 5\right)\right)\right) = 9 - 9 \cos{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right) \left(3 x + \left(x^{2} + 5\right)\right)\right) = 9 - 9 \cos{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right) \left(3 x + \left(x^{2} + 5\right)\right)\right) = 2$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right) \left(3 x + \left(x^{2} + 5\right)\right)\right) = \left\langle 0, 10\right\rangle$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right) \left(3 x + \left(x^{2} + 5\right)\right)\right) = \left\langle 0, 10\right\rangle$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right) \left(3 x + \left(x^{2} + 5\right)\right)\right) = 9 - 9 \cos{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right) \left(3 x + \left(x^{2} + 5\right)\right)\right) = 9 - 9 \cos{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right) \left(3 x + \left(x^{2} + 5\right)\right)\right) = 2$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico