Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-27+x^3)/(-3+x)
-
Límite de (-6+x+x^2)/(-2+x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(20+x^2-12*x)
-
Límite de tan(5*x)/x
-
Expresiones idénticas
- x^ dos *(- uno +cos(uno /x))
- x al cuadrado multiplicar por ( menos 1 más coseno de (1 dividir por x))
- x en el grado dos multiplicar por ( menos uno más coseno de (uno dividir por x))
- x2*(-1+cos(1/x))
- x2*-1+cos1/x
- x²*(-1+cos(1/x))
- x en el grado 2*(-1+cos(1/x))
- x^2(-1+cos(1/x))
- x2(-1+cos(1/x))
- x2-1+cos1/x
- x^2-1+cos1/x
- x^2*(-1+cos(1 dividir por x))
-
Expresiones semejantes
- x^2*(1+cos(1/x))
- x^2*(-1-cos(1/x))
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)/x
- cos(2*x)^3/x^2
- cos(x)^3
- cosh(x)/sinh(2*x)
- cos(x)/x^2
Límite de la función x^2*(-1+cos(1/x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 / /1\\\ lim |x *|-1 + cos|-||| x->oo\ \ \x///
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1\right)\right)$$
Limit(x^2*(-1 + cos(1/x)), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2 x^{3} \left(\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1\right)^{2}}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{2 x^{3}}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1\right)^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\left(- \frac{6 x^{2}}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}} - \frac{2 x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right) \left(x^{2} \cos^{3}{\left(\frac{1}{x} \right)} - 3 x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 3 x^{2} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - x^{2}\right)}{2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\left(- \frac{6 x^{2}}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}} - \frac{2 x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right) \left(x^{2} \cos^{3}{\left(\frac{1}{x} \right)} - 3 x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 3 x^{2} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - x^{2}\right)}{2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right)$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2 x^{3} \left(\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1\right)^{2}}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{2 x^{3}}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1\right)^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\left(- \frac{6 x^{2}}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}} - \frac{2 x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right) \left(x^{2} \cos^{3}{\left(\frac{1}{x} \right)} - 3 x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 3 x^{2} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - x^{2}\right)}{2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\left(- \frac{6 x^{2}}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}} - \frac{2 x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right) \left(x^{2} \cos^{3}{\left(\frac{1}{x} \right)} - 3 x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 3 x^{2} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - x^{2}\right)}{2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right)$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1\right)\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x^{2} \left(\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} \left(\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x^{2} \left(\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1\right)\right) = -1 + \cos{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{2} \left(\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1\right)\right) = -1 + \cos{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1\right)\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x^{2} \left(\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} \left(\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x^{2} \left(\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1\right)\right) = -1 + \cos{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{2} \left(\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1\right)\right) = -1 + \cos{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1\right)\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico