Sr Examen
Otras calculadoras:
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¿Cómo usar?
- Límite de la función:
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Límite de x^(1-x)
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Límite de (1-2/x)^x
-
Límite de -2+x
-
Límite de x^2/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- (n+ cuatro ^n)/factorial(n)
- (n más 4 en el grado n) dividir por factorial(n)
- (n más cuatro en el grado n) dividir por factorial(n)
- (n+4n)/factorial(n)
- n+4n/factorialn
- n+4^n/factorialn
- (n+4^n) dividir por factorial(n)
-
Expresiones semejantes
- (n-4^n)/factorial(n)
-
Expresiones con funciones
- factorial
- factorial(x)^(1/x)
- factorial(x)/factorial(1+x)
- factorial(x)/factorial(-1+x)
- factorial(x)/x^2
- factorial(x)/(1+3*x)
Límite de la función (n+4^n)/factorial(n)
Solución
Ha introducido
[src]
/ n\
|n + 4 |
lim |------|
n->oo\ n! /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4^{n} + n}{n!}\right)$$
Limit((n + 4^n)/factorial(n), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(4^{n} + n\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} n! = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4^{n} + n}{n!}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(4^{n} + n\right)}{\frac{d}{d n} n!}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)} + 1}{\Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(2 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)} + 1\right)}{\frac{d}{d n} \Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)} \log{\left(4 \right)}}{\Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,n + 1 \right)} + \Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(1,n + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)} \log{\left(4 \right)}}{\Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,n + 1 \right)} + \Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(1,n + 1 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(4^{n} + n\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} n! = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4^{n} + n}{n!}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(4^{n} + n\right)}{\frac{d}{d n} n!}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)} + 1}{\Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(2 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)} + 1\right)}{\frac{d}{d n} \Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)} \log{\left(4 \right)}}{\Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,n + 1 \right)} + \Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(1,n + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)} \log{\left(4 \right)}}{\Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,n + 1 \right)} + \Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(1,n + 1 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4^{n} + n}{n!}\right) = 0$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{4^{n} + n}{n!}\right) = 1$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{4^{n} + n}{n!}\right) = 1$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{4^{n} + n}{n!}\right) = 5$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{4^{n} + n}{n!}\right) = 5$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{4^{n} + n}{n!}\right) = - \frac{\infty}{\left(-\infty\right)!}$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{4^{n} + n}{n!}\right) = 1$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{4^{n} + n}{n!}\right) = 1$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{4^{n} + n}{n!}\right) = 5$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{4^{n} + n}{n!}\right) = 5$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{4^{n} + n}{n!}\right) = - \frac{\infty}{\left(-\infty\right)!}$$
Más detalles con n→-oo