Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (8+x)/x^2
-
Límite de (7-x+4*x^2)/(1+3*x)
-
Límite de (3-10*x+3*x^2)/(-3+x^2-2*x)
-
Límite de (3+3*x^2+10*x)/(-3+2*x^2+5*x)
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos + dos *x)/(- tres +sqrt(nueve +x))
- (x al cuadrado más 2 multiplicar por x) dividir por ( menos 3 más raíz cuadrada de (9 más x))
- (x en el grado dos más dos multiplicar por x) dividir por ( menos tres más raíz cuadrada de (nueve más x))
- (x^2+2*x)/(-3+√(9+x))
- (x2+2*x)/(-3+sqrt(9+x))
- x2+2*x/-3+sqrt9+x
- (x²+2*x)/(-3+sqrt(9+x))
- (x en el grado 2+2*x)/(-3+sqrt(9+x))
- (x^2+2x)/(-3+sqrt(9+x))
- (x2+2x)/(-3+sqrt(9+x))
- x2+2x/-3+sqrt9+x
- x^2+2x/-3+sqrt9+x
- (x^2+2*x) dividir por (-3+sqrt(9+x))
-
Expresiones semejantes
- (x^2+2*x)/(3+sqrt(9+x))
- (x^2+2*x)/(-3-sqrt(9+x))
- (x^2+2*x)/(-3+sqrt(9-x))
- (x^2-2*x)/(-3+sqrt(9+x))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*log(2)^3/log(x)^3
- sqrt(-2+x)/(-4+x^2)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(-1+x^2-x)
- sqrt(1+x+x^2)-x
- sqrt(9+x^2+4*x)-sqrt(11+x^2-8*x)
Límite de la función (x^2+2*x)/(-3+sqrt(9+x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| x + 2*x |
lim |--------------|
x->0+| _______|
\-3 + \/ 9 + x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3}\right)$$
Limit((x^2 + 2*x)/(-3 + sqrt(9 + x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$- \sqrt{x + 9} - 3$$
obtendremos
$$\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) \left(- \sqrt{x + 9} - 3\right)}{\left(- \sqrt{x + 9} - 3\right) \left(\sqrt{x + 9} - 3\right)}$$
=
$$\frac{x \left(x + 2\right) \left(- \sqrt{x + 9} - 3\right)}{\left(-1\right) x}$$
=
$$\left(x + 2\right) \left(\sqrt{x + 9} + 3\right)$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(x + 2\right) \left(\sqrt{x + 9} + 3\right)\right)$$
=
$$12$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$- \sqrt{x + 9} - 3$$
obtendremos
$$\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) \left(- \sqrt{x + 9} - 3\right)}{\left(- \sqrt{x + 9} - 3\right) \left(\sqrt{x + 9} - 3\right)}$$
=
$$\frac{x \left(x + 2\right) \left(- \sqrt{x + 9} - 3\right)}{\left(-1\right) x}$$
=
$$\left(x + 2\right) \left(\sqrt{x + 9} + 3\right)$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(x + 2\right) \left(\sqrt{x + 9} + 3\right)\right)$$
=
$$12$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \left(x + 2\right)\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x + 9} - 3\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \left(x + 2\right)}{\sqrt{x + 9} - 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 9} - 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \sqrt{x + 9} \left(2 x + 2\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(12 x + 12\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(12 x + 12\right)$$
=
$$12$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \left(x + 2\right)\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x + 9} - 3\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \left(x + 2\right)}{\sqrt{x + 9} - 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 9} - 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \sqrt{x + 9} \left(2 x + 2\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(12 x + 12\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(12 x + 12\right)$$
=
$$12$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
| x + 2*x |
lim |--------------|
x->0+| _______|
\-3 + \/ 9 + x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3}\right)$$
12
$$12$$
= 12
/ 2 \
| x + 2*x |
lim |--------------|
x->0-| _______|
\-3 + \/ 9 + x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3}\right)$$
12
$$12$$
= 12
= 12
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3}\right) = 12$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3}\right) = 12$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3}\right) = \frac{3}{-3 + \sqrt{10}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3}\right) = \frac{3}{-3 + \sqrt{10}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3}\right) = - \infty i$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3}\right) = 12$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3}\right) = \frac{3}{-3 + \sqrt{10}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3}\right) = \frac{3}{-3 + \sqrt{10}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3}\right) = - \infty i$$
Más detalles con x→-oo