Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\left(4 n! + \left(n + 2\right)!\right) n!\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(4 n^{2} + n + 3\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(4 n! + \left(n + 2\right)!\right) n!}{4 n^{2} + \left(n + 3\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(4 n! + \left(n + 2\right)!\right) n!}{4 n^{2} + n + 3}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(4 n! + \left(n + 2\right)!\right) n!}{\frac{d}{d n} \left(4 n^{2} + n + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{8 n! \Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)} + n! \Gamma\left(n + 3\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 3 \right)} + \left(n + 2\right)! \Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{8 n + 1}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{8 n! \Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)} + n! \Gamma\left(n + 3\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 3 \right)} + \left(n + 2\right)! \Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{8 n + 1}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)