Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 3} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}} + \frac{3 \sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{3} + 2} \left(n + 4\right)}{\sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(n + 3\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \left(n + 4\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{3} + 2}}{\sqrt{n + 2} \left(n + 3\right) \sqrt{n^{3} + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \sqrt{n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 3}}{\frac{d}{d n} \left(\frac{n \sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}} + \frac{3 \sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{3 n^{2}}{2} + 3 n + \frac{3}{2}}{\sqrt{n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 3} \left(\frac{3 n^{3} \sqrt{n + 2}}{2 \sqrt{n^{3} + 2} \left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)} + \frac{9 n^{2} \sqrt{n + 2}}{2 \sqrt{n^{3} + 2} \left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)} + \frac{n \sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(- \frac{n}{2 \sqrt{n + 1}} - \sqrt{n + 1} - \frac{2}{\sqrt{n + 1}}\right)}{\left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)^{2}} + \frac{n \sqrt{n^{3} + 2}}{2 \sqrt{n + 2} \left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)} + \frac{\sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}} + \frac{3 \sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(- \frac{n}{2 \sqrt{n + 1}} - \sqrt{n + 1} - \frac{2}{\sqrt{n + 1}}\right)}{\left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)^{2}} + \frac{3 \sqrt{n^{3} + 2}}{2 \sqrt{n + 2} \left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{3 n^{2}}{2} + 3 n + \frac{3}{2}}{\sqrt{n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 3} \left(\frac{3 n^{3} \sqrt{n + 2}}{2 \sqrt{n^{3} + 2} \left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)} + \frac{9 n^{2} \sqrt{n + 2}}{2 \sqrt{n^{3} + 2} \left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)} + \frac{n \sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(- \frac{n}{2 \sqrt{n + 1}} - \sqrt{n + 1} - \frac{2}{\sqrt{n + 1}}\right)}{\left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)^{2}} + \frac{n \sqrt{n^{3} + 2}}{2 \sqrt{n + 2} \left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)} + \frac{\sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}} + \frac{3 \sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(- \frac{n}{2 \sqrt{n + 1}} - \sqrt{n + 1} - \frac{2}{\sqrt{n + 1}}\right)}{\left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)^{2}} + \frac{3 \sqrt{n^{3} + 2}}{2 \sqrt{n + 2} \left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)}\right)}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)