Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
- Límite de (e^(a*x)-cos(a*x))/(e^(b*x)-cos(b*x))
-
Límite de ((6-x)^2-(6+x)^2)/((6+x)^2-(1-x)^2)
-
Límite de (-2-7*x+4*x^2)/(-2-9*x+5*x^2)
-
Límite de (2+3*x^2+5*x)/(4+3*x^2+8*x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(uno +n)*sqrt(dos +(uno +n)^ tres)*(cuatro +n)/(sqrt(dos +n)*sqrt(dos +n^ tres)*(tres +n))
- raíz cuadrada de (1 más n) multiplicar por raíz cuadrada de (2 más (1 más n) al cubo ) multiplicar por (4 más n) dividir por ( raíz cuadrada de (2 más n) multiplicar por raíz cuadrada de (2 más n al cubo ) multiplicar por (3 más n))
- raíz cuadrada de (uno más n) multiplicar por raíz cuadrada de (dos más (uno más n) en el grado tres) multiplicar por (cuatro más n) dividir por ( raíz cuadrada de (dos más n) multiplicar por raíz cuadrada de (dos más n en el grado tres) multiplicar por (tres más n))
- √(1+n)*√(2+(1+n)^3)*(4+n)/(√(2+n)*√(2+n^3)*(3+n))
- sqrt(1+n)*sqrt(2+(1+n)3)*(4+n)/(sqrt(2+n)*sqrt(2+n3)*(3+n))
- sqrt1+n*sqrt2+1+n3*4+n/sqrt2+n*sqrt2+n3*3+n
- sqrt(1+n)*sqrt(2+(1+n)³)*(4+n)/(sqrt(2+n)*sqrt(2+n³)*(3+n))
- sqrt(1+n)*sqrt(2+(1+n) en el grado 3)*(4+n)/(sqrt(2+n)*sqrt(2+n en el grado 3)*(3+n))
- sqrt(1+n)sqrt(2+(1+n)^3)(4+n)/(sqrt(2+n)sqrt(2+n^3)(3+n))
- sqrt(1+n)sqrt(2+(1+n)3)(4+n)/(sqrt(2+n)sqrt(2+n3)(3+n))
- sqrt1+nsqrt2+1+n34+n/sqrt2+nsqrt2+n33+n
- sqrt1+nsqrt2+1+n^34+n/sqrt2+nsqrt2+n^33+n
- sqrt(1+n)*sqrt(2+(1+n)^3)*(4+n) dividir por (sqrt(2+n)*sqrt(2+n^3)*(3+n))
-
Expresiones semejantes
- sqrt(1+n)*sqrt(2+(1+n)^3)*(4+n)/(sqrt(2-n)*sqrt(2+n^3)*(3+n))
- sqrt(1+n)*sqrt(2+(1+n)^3)*(4-n)/(sqrt(2+n)*sqrt(2+n^3)*(3+n))
- sqrt(1+n)*sqrt(2+(1-n)^3)*(4+n)/(sqrt(2+n)*sqrt(2+n^3)*(3+n))
- sqrt(1-n)*sqrt(2+(1+n)^3)*(4+n)/(sqrt(2+n)*sqrt(2+n^3)*(3+n))
- sqrt(1+n)*sqrt(2-(1+n)^3)*(4+n)/(sqrt(2+n)*sqrt(2+n^3)*(3+n))
- sqrt(1+n)*sqrt(2+(1+n)^3)*(4+n)/(sqrt(2+n)*sqrt(2+n^3)*(3-n))
- sqrt(1+n)*sqrt(2+(1+n)^3)*(4+n)/(sqrt(2+n)*sqrt(2-n^3)*(3+n))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2-2*x)
- sqrt(1+x^3)/(-2+x)
- sqrt(1-1/(1+t*x))
- sqrt(x/(1+2*x))
- sqrt(x*(-5+x))-x
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2-2*x)
- sqrt(1+x^3)/(-2+x)
- sqrt(1-1/(1+t*x))
- sqrt(x/(1+2*x))
- sqrt(x*(-5+x))-x
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2-2*x)
- sqrt(1+x^3)/(-2+x)
- sqrt(1-1/(1+t*x))
- sqrt(x/(1+2*x))
- sqrt(x*(-5+x))-x
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2-2*x)
- sqrt(1+x^3)/(-2+x)
- sqrt(1-1/(1+t*x))
- sqrt(x/(1+2*x))
- sqrt(x*(-5+x))-x
Límite de la función sqrt(1+n)*sqrt(2+(1+n)^3)*(4+n)/(sqrt(2+n)*sqrt(2+n^3)*(3+n))
Solución
Ha introducido
[src]
/ ______________ \
| _______ / 3 |
|\/ 1 + n *\/ 2 + (1 + n) *(4 + n)|
lim |-----------------------------------|
n->oo| ________ |
| _______ / 3 |
\ \/ 2 + n *\/ 2 + n *(3 + n) /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{3} + 2} \left(n + 4\right)}{\sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(n + 3\right)}\right)$$
Limit(((sqrt(1 + n)*sqrt(2 + (1 + n)^3))*(4 + n))/(((sqrt(2 + n)*sqrt(2 + n^3))*(3 + n))), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 3} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}} + \frac{3 \sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{3} + 2} \left(n + 4\right)}{\sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(n + 3\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \left(n + 4\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{3} + 2}}{\sqrt{n + 2} \left(n + 3\right) \sqrt{n^{3} + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \sqrt{n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 3}}{\frac{d}{d n} \left(\frac{n \sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}} + \frac{3 \sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{3 n^{2}}{2} + 3 n + \frac{3}{2}}{\sqrt{n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 3} \left(\frac{3 n^{3} \sqrt{n + 2}}{2 \sqrt{n^{3} + 2} \left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)} + \frac{9 n^{2} \sqrt{n + 2}}{2 \sqrt{n^{3} + 2} \left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)} + \frac{n \sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(- \frac{n}{2 \sqrt{n + 1}} - \sqrt{n + 1} - \frac{2}{\sqrt{n + 1}}\right)}{\left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)^{2}} + \frac{n \sqrt{n^{3} + 2}}{2 \sqrt{n + 2} \left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)} + \frac{\sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}} + \frac{3 \sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(- \frac{n}{2 \sqrt{n + 1}} - \sqrt{n + 1} - \frac{2}{\sqrt{n + 1}}\right)}{\left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)^{2}} + \frac{3 \sqrt{n^{3} + 2}}{2 \sqrt{n + 2} \left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{3 n^{2}}{2} + 3 n + \frac{3}{2}}{\sqrt{n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 3} \left(\frac{3 n^{3} \sqrt{n + 2}}{2 \sqrt{n^{3} + 2} \left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)} + \frac{9 n^{2} \sqrt{n + 2}}{2 \sqrt{n^{3} + 2} \left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)} + \frac{n \sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(- \frac{n}{2 \sqrt{n + 1}} - \sqrt{n + 1} - \frac{2}{\sqrt{n + 1}}\right)}{\left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)^{2}} + \frac{n \sqrt{n^{3} + 2}}{2 \sqrt{n + 2} \left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)} + \frac{\sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}} + \frac{3 \sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(- \frac{n}{2 \sqrt{n + 1}} - \sqrt{n + 1} - \frac{2}{\sqrt{n + 1}}\right)}{\left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)^{2}} + \frac{3 \sqrt{n^{3} + 2}}{2 \sqrt{n + 2} \left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)}\right)}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 3} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}} + \frac{3 \sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{3} + 2} \left(n + 4\right)}{\sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(n + 3\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \left(n + 4\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{3} + 2}}{\sqrt{n + 2} \left(n + 3\right) \sqrt{n^{3} + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \sqrt{n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 3}}{\frac{d}{d n} \left(\frac{n \sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}} + \frac{3 \sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{3 n^{2}}{2} + 3 n + \frac{3}{2}}{\sqrt{n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 3} \left(\frac{3 n^{3} \sqrt{n + 2}}{2 \sqrt{n^{3} + 2} \left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)} + \frac{9 n^{2} \sqrt{n + 2}}{2 \sqrt{n^{3} + 2} \left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)} + \frac{n \sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(- \frac{n}{2 \sqrt{n + 1}} - \sqrt{n + 1} - \frac{2}{\sqrt{n + 1}}\right)}{\left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)^{2}} + \frac{n \sqrt{n^{3} + 2}}{2 \sqrt{n + 2} \left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)} + \frac{\sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}} + \frac{3 \sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(- \frac{n}{2 \sqrt{n + 1}} - \sqrt{n + 1} - \frac{2}{\sqrt{n + 1}}\right)}{\left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)^{2}} + \frac{3 \sqrt{n^{3} + 2}}{2 \sqrt{n + 2} \left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{3 n^{2}}{2} + 3 n + \frac{3}{2}}{\sqrt{n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 3} \left(\frac{3 n^{3} \sqrt{n + 2}}{2 \sqrt{n^{3} + 2} \left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)} + \frac{9 n^{2} \sqrt{n + 2}}{2 \sqrt{n^{3} + 2} \left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)} + \frac{n \sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(- \frac{n}{2 \sqrt{n + 1}} - \sqrt{n + 1} - \frac{2}{\sqrt{n + 1}}\right)}{\left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)^{2}} + \frac{n \sqrt{n^{3} + 2}}{2 \sqrt{n + 2} \left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)} + \frac{\sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2}}{n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}} + \frac{3 \sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(- \frac{n}{2 \sqrt{n + 1}} - \sqrt{n + 1} - \frac{2}{\sqrt{n + 1}}\right)}{\left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)^{2}} + \frac{3 \sqrt{n^{3} + 2}}{2 \sqrt{n + 2} \left(n \sqrt{n + 1} + 4 \sqrt{n + 1}\right)}\right)}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{3} + 2} \left(n + 4\right)}{\sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(n + 3\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{3} + 2} \left(n + 4\right)}{\sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(n + 3\right)}\right) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{3} + 2} \left(n + 4\right)}{\sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(n + 3\right)}\right) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{3} + 2} \left(n + 4\right)}{\sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(n + 3\right)}\right) = \frac{5 \sqrt{5}}{6}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{3} + 2} \left(n + 4\right)}{\sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(n + 3\right)}\right) = \frac{5 \sqrt{5}}{6}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{3} + 2} \left(n + 4\right)}{\sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(n + 3\right)}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{3} + 2} \left(n + 4\right)}{\sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(n + 3\right)}\right) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{3} + 2} \left(n + 4\right)}{\sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(n + 3\right)}\right) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{3} + 2} \left(n + 4\right)}{\sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(n + 3\right)}\right) = \frac{5 \sqrt{5}}{6}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{3} + 2} \left(n + 4\right)}{\sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(n + 3\right)}\right) = \frac{5 \sqrt{5}}{6}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{3} + 2} \left(n + 4\right)}{\sqrt{n + 2} \sqrt{n^{3} + 2} \left(n + 3\right)}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo