Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- - uno /x+ uno /(x*sqrt(uno +x))
- menos 1 dividir por x más 1 dividir por (x multiplicar por raíz cuadrada de (1 más x))
- menos uno dividir por x más uno dividir por (x multiplicar por raíz cuadrada de (uno más x))
- -1/x+1/(x*√(1+x))
- -1/x+1/(xsqrt(1+x))
- -1/x+1/xsqrt1+x
- -1 dividir por x+1 dividir por (x*sqrt(1+x))
-
Expresiones semejantes
- -1/x-1/(x*sqrt(1+x))
- 1/x+1/(x*sqrt(1+x))
- -1/x+1/(x*sqrt(1-x))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*(sqrt(2+x)-sqrt(-3+x))
- sqrt(1+tan(x))-sqrt(1+sin(x))/x^3
- sqrt(x^2-3*x)-x
- sqrt(1+x^2)/x
- sqrt(8+x^3)*(sqrt(2+x^3)-sqrt(-1+x^3))
Límite de la función -1/x+1/(x*sqrt(1+x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 1 1 \
lim |- - + -----------|
x->0+| x _______|
\ x*\/ 1 + x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{x}\right)$$
Limit(-1/x + 1/(x*sqrt(1 + x)), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \sqrt{x + 1}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \sqrt{x + 1}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \sqrt{x + 1}}{x \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - \sqrt{x + 1}\right)}{\frac{d}{d x} x \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{1}{2 \sqrt{x + 1} \left(\frac{x}{2 \sqrt{x + 1}} + \sqrt{x + 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{1}{2 \left(\frac{x}{2 \sqrt{x + 1}} + \sqrt{x + 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{1}{2 \left(\frac{x}{2 \sqrt{x + 1}} + \sqrt{x + 1}\right)}\right)$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \sqrt{x + 1}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \sqrt{x + 1}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \sqrt{x + 1}}{x \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - \sqrt{x + 1}\right)}{\frac{d}{d x} x \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{1}{2 \sqrt{x + 1} \left(\frac{x}{2 \sqrt{x + 1}} + \sqrt{x + 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{1}{2 \left(\frac{x}{2 \sqrt{x + 1}} + \sqrt{x + 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{1}{2 \left(\frac{x}{2 \sqrt{x + 1}} + \sqrt{x + 1}\right)}\right)$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 1 1 \
lim |- - + -----------|
x->0+| x _______|
\ x*\/ 1 + x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{x}\right)$$
-1/2
$$- \frac{1}{2}$$
= -0.5
/ 1 1 \
lim |- - + -----------|
x->0-| x _______|
\ x*\/ 1 + x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{x \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{x}\right)$$
-1/2
$$- \frac{1}{2}$$
= -0.5
= -0.5
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{x \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{x}\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{x}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1}{x \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{x}\right) = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1}{x \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{x}\right) = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{x}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1}{x \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{x}\right) = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1}{x \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{x}\right) = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico