Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-9+x^2)/(3+x)
-
Límite de x^2/(1-cos(6*x))
-
Límite de (4+x^2-5*x)/(8+x^2-6*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x*(uno +x))-x
- raíz cuadrada de (x multiplicar por (1 más x)) menos x
- raíz cuadrada de (x multiplicar por (uno más x)) menos x
- √(x*(1+x))-x
- sqrt(x(1+x))-x
- sqrtx1+x-x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(x*(1+x))+x
- sqrt(x*(1-x))-x
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(2+x)-(20+x)^(1/3)
- sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2+9*x)
- sqrt(2+x)/(-4+x)
- sqrt(4+x^2)-sqrt(1+x^2-3*x)
- sqrt(x)*(-3+x)
Límite de la función sqrt(x*(1+x))-x
Solución
Ha introducido
[src]
/ ___________ \ lim \\/ x*(1 + x) - x/ x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}\right)$$
Limit(sqrt(x*(1 + x)) - x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}\right) \left(x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}\right)}{x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(\sqrt{x \left(x + 1\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x \left(x + 1\right)}{x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x \left(x + 1\right)}{x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{x^{2} + x}}{x}}$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x + 1}{x}} + 1}$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1}$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1}$$ =
$$\lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{u + 1} + 1}$$ =
= $$\frac{1}{1 + \sqrt{1}} = \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}\right) \left(x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}\right)}{x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(\sqrt{x \left(x + 1\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x \left(x + 1\right)}{x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x \left(x + 1\right)}{x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{x^{2} + x}}{x}}$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x + 1}{x}} + 1}$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1}$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1}$$ =
$$\lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{u + 1} + 1}$$ =
= $$\frac{1}{1 + \sqrt{1}} = \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 1\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo