Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x^{2} + 2} - \sqrt{2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 2} - \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x^{2} + 2} - \sqrt{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x^{2} + 1} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
=
$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)