Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-sin(x))/cos(x)^2
-
Límite de (1+sin(sqrt(x))^2)^(1/(2*x))
-
Límite de 1-cos(x)^3
-
Límite de (1-cos(x)^2)*tan(x)/x
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x+ cinco *x^ dos)/sqrt(-x+ cinco *x^ dos)
- raíz cuadrada de (x más 5 multiplicar por x al cuadrado ) dividir por raíz cuadrada de ( menos x más 5 multiplicar por x al cuadrado )
- raíz cuadrada de (x más cinco multiplicar por x en el grado dos) dividir por raíz cuadrada de ( menos x más cinco multiplicar por x en el grado dos)
- √(x+5*x^2)/√(-x+5*x^2)
- sqrt(x+5*x2)/sqrt(-x+5*x2)
- sqrtx+5*x2/sqrt-x+5*x2
- sqrt(x+5*x²)/sqrt(-x+5*x²)
- sqrt(x+5*x en el grado 2)/sqrt(-x+5*x en el grado 2)
- sqrt(x+5x^2)/sqrt(-x+5x^2)
- sqrt(x+5x2)/sqrt(-x+5x2)
- sqrtx+5x2/sqrt-x+5x2
- sqrtx+5x^2/sqrt-x+5x^2
- sqrt(x+5*x^2) dividir por sqrt(-x+5*x^2)
-
Expresiones semejantes
- sqrt(x+5*x^2)/sqrt(x+5*x^2)
- sqrt(x+5*x^2)/sqrt(-x-5*x^2)
- sqrt(x-5*x^2)/sqrt(-x+5*x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(3)*atan(sqrt(3)*(3-2*x)/3)/3
- sqrt(9+8*x+36*x^2)-6*x
- sqrt(8+x^2+5*x)-sqrt(-6+x^2-7*x)
- sqrt(x^2-x)-sqrt(11)
- sqrt(sin(x^2))*log(1-4*x)/(cos(3*x)*tan(2*x)^2)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(3)*atan(sqrt(3)*(3-2*x)/3)/3
- sqrt(9+8*x+36*x^2)-6*x
- sqrt(8+x^2+5*x)-sqrt(-6+x^2-7*x)
- sqrt(x^2-x)-sqrt(11)
- sqrt(sin(x^2))*log(1-4*x)/(cos(3*x)*tan(2*x)^2)
Límite de la función sqrt(x+5*x^2)/sqrt(-x+5*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ __________ \
| / 2 |
|\/ x + 5*x |
lim |--------------|
x->oo| ___________|
| / 2 |
\\/ -x + 5*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{5 x^{2} + x}}{\sqrt{5 x^{2} - x}}\right)$$
Limit(sqrt(x + 5*x^2)/sqrt(-x + 5*x^2), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{5 x^{2} + x} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{5 x^{2} - x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{5 x^{2} + x}}{\sqrt{5 x^{2} - x}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x \left(5 x + 1\right)}}{\sqrt{x \left(5 x - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{5 x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} \sqrt{5 x^{2} - x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{5 x^{2} - x}}{\frac{5 x \sqrt{5 x^{2} + x}}{5 x + \frac{1}{2}} - \frac{\sqrt{5 x^{2} + x}}{2 \left(5 x + \frac{1}{2}\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{5 x^{2} - x}}{\frac{d}{d x} \left(\frac{5 x \sqrt{5 x^{2} + x}}{5 x + \frac{1}{2}} - \frac{\sqrt{5 x^{2} + x}}{2 \left(5 x + \frac{1}{2}\right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x - \frac{1}{2}}{\sqrt{5 x^{2} - x} \left(- \frac{25 x \sqrt{5 x^{2} + x}}{25 x^{2} + 5 x + \frac{1}{4}} + \frac{5 x}{\sqrt{5 x^{2} + x}} + \frac{5 \sqrt{5 x^{2} + x}}{2 \left(25 x^{2} + 5 x + \frac{1}{4}\right)} - \frac{1}{2 \sqrt{5 x^{2} + x}} + \frac{5 \sqrt{5 x^{2} + x}}{5 x + \frac{1}{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x - \frac{1}{2}}{\sqrt{5 x^{2} - x} \left(- \frac{25 x \sqrt{5 x^{2} + x}}{25 x^{2} + 5 x + \frac{1}{4}} + \frac{5 x}{\sqrt{5 x^{2} + x}} + \frac{5 \sqrt{5 x^{2} + x}}{2 \left(25 x^{2} + 5 x + \frac{1}{4}\right)} - \frac{1}{2 \sqrt{5 x^{2} + x}} + \frac{5 \sqrt{5 x^{2} + x}}{5 x + \frac{1}{2}}\right)}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{5 x^{2} + x} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{5 x^{2} - x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{5 x^{2} + x}}{\sqrt{5 x^{2} - x}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x \left(5 x + 1\right)}}{\sqrt{x \left(5 x - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{5 x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} \sqrt{5 x^{2} - x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{5 x^{2} - x}}{\frac{5 x \sqrt{5 x^{2} + x}}{5 x + \frac{1}{2}} - \frac{\sqrt{5 x^{2} + x}}{2 \left(5 x + \frac{1}{2}\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{5 x^{2} - x}}{\frac{d}{d x} \left(\frac{5 x \sqrt{5 x^{2} + x}}{5 x + \frac{1}{2}} - \frac{\sqrt{5 x^{2} + x}}{2 \left(5 x + \frac{1}{2}\right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x - \frac{1}{2}}{\sqrt{5 x^{2} - x} \left(- \frac{25 x \sqrt{5 x^{2} + x}}{25 x^{2} + 5 x + \frac{1}{4}} + \frac{5 x}{\sqrt{5 x^{2} + x}} + \frac{5 \sqrt{5 x^{2} + x}}{2 \left(25 x^{2} + 5 x + \frac{1}{4}\right)} - \frac{1}{2 \sqrt{5 x^{2} + x}} + \frac{5 \sqrt{5 x^{2} + x}}{5 x + \frac{1}{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x - \frac{1}{2}}{\sqrt{5 x^{2} - x} \left(- \frac{25 x \sqrt{5 x^{2} + x}}{25 x^{2} + 5 x + \frac{1}{4}} + \frac{5 x}{\sqrt{5 x^{2} + x}} + \frac{5 \sqrt{5 x^{2} + x}}{2 \left(25 x^{2} + 5 x + \frac{1}{4}\right)} - \frac{1}{2 \sqrt{5 x^{2} + x}} + \frac{5 \sqrt{5 x^{2} + x}}{5 x + \frac{1}{2}}\right)}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{5 x^{2} + x}}{\sqrt{5 x^{2} - x}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{5 x^{2} + x}}{\sqrt{5 x^{2} - x}}\right) = i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{5 x^{2} + x}}{\sqrt{5 x^{2} - x}}\right) = - i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{5 x^{2} + x}}{\sqrt{5 x^{2} - x}}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{5 x^{2} + x}}{\sqrt{5 x^{2} - x}}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{5 x^{2} + x}}{\sqrt{5 x^{2} - x}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{5 x^{2} + x}}{\sqrt{5 x^{2} - x}}\right) = i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{5 x^{2} + x}}{\sqrt{5 x^{2} - x}}\right) = - i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{5 x^{2} + x}}{\sqrt{5 x^{2} - x}}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{5 x^{2} + x}}{\sqrt{5 x^{2} - x}}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{5 x^{2} + x}}{\sqrt{5 x^{2} - x}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo