Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -2^+}\left(x \left(4 - x^{2}\right)\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -2^+}\left(2 x^{2} + 3 x - 2\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{- x^{3} + 4 x}{3 x + \left(2 x^{2} - 2\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{x \left(4 - x^{2}\right)}{2 x^{2} + 3 x - 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(4 - x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} + 3 x - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{4 - 3 x^{2}}{4 x + 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{4 - 3 x^{2}}{4 x + 3}\right)$$
=
$$\frac{8}{5}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)