Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((1+x)^3+(2+x)^3)/((4+x)^3+(5+x)^3)
-
Límite de (sqrt(1-x)-sqrt(1+x))^2/x^2
-
Límite de (-log(1+x)+log(-1+x^2))/(-1+(-1+x)^(1/3))
-
Límite de -1+cos(x)
-
Expresiones idénticas
- sin(veintiocho *x*y)/sin(cuatro *x*y)
- seno de (28 multiplicar por x multiplicar por y) dividir por seno de (4 multiplicar por x multiplicar por y)
- seno de (veintiocho multiplicar por x multiplicar por y) dividir por seno de (cuatro multiplicar por x multiplicar por y)
- sin(28xy)/sin(4xy)
- sin28xy/sin4xy
- sin(28*x*y) dividir por sin(4*x*y)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(25*x)^2/(x+2*x^2)
- sin(2*x)^(x^2)
- sin(2*x)^2/sqrt(x)
- sin(4*x)^2*(-1+e^(4*x^2))/((1-cos(x))*tan(x))
- sin(2*x)/(-pi+4*x)
- Seno sin
- sin(25*x)^2/(x+2*x^2)
- sin(2*x)^(x^2)
- sin(2*x)^2/sqrt(x)
- sin(4*x)^2*(-1+e^(4*x^2))/((1-cos(x))*tan(x))
- sin(2*x)/(-pi+4*x)
Límite de la función sin(28*x*y)/sin(4*x*y)
Solución
Ha introducido
[src]
/sin(28*x*y)\ lim |-----------| y->0+\ sin(4*x*y)/
$$\lim_{y \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(28 x y \right)}}{\sin{\left(4 x y \right)}}\right)$$
Limit(sin((28*x)*y)/sin((4*x)*y), y, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{y \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(28 x y \right)}}{\sin{\left(4 x y \right)}}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{y \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(28 x y \right)}}{\sin{\left(4 x y \right)}}\right) = \lim_{y \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(28 x y \right)}}{y} \frac{y}{\sin{\left(4 x y \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{y \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(28 x y \right)}}{y}\right) \lim_{y \to 0^+}\left(\frac{y}{\sin{\left(4 x y \right)}}\right)$$
=
Sustituimos
$$u = 28 x y$$
y
$$v = 4 x y$$
entonces
$$\lim_{y \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(28 x y \right)}}{\sin{\left(4 x y \right)}}\right) = \lim_{y \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(28 x y \right)}}{y}\right) \lim_{y \to 0^+}\left(\frac{y}{\sin{\left(4 x y \right)}}\right)$$
$$\lim_{y \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(28 x y \right)}}{\sin{\left(4 x y \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{28 x \sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{4 x \sin{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$7 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\sin{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$7 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
y
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
=
$$7 \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}$$
=
$$7$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{y \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(28 x y \right)}}{\sin{\left(4 x y \right)}}\right) = 7$$
$$\lim_{y \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(28 x y \right)}}{\sin{\left(4 x y \right)}}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{y \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(28 x y \right)}}{\sin{\left(4 x y \right)}}\right) = \lim_{y \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(28 x y \right)}}{y} \frac{y}{\sin{\left(4 x y \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{y \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(28 x y \right)}}{y}\right) \lim_{y \to 0^+}\left(\frac{y}{\sin{\left(4 x y \right)}}\right)$$
=
Sustituimos
$$u = 28 x y$$
y
$$v = 4 x y$$
entonces
$$\lim_{y \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(28 x y \right)}}{\sin{\left(4 x y \right)}}\right) = \lim_{y \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(28 x y \right)}}{y}\right) \lim_{y \to 0^+}\left(\frac{y}{\sin{\left(4 x y \right)}}\right)$$
$$\lim_{y \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(28 x y \right)}}{\sin{\left(4 x y \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{28 x \sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{4 x \sin{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$7 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\sin{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$7 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
y
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
=
$$7 \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}$$
=
$$7$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{y \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(28 x y \right)}}{\sin{\left(4 x y \right)}}\right) = 7$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{y \to 0^+} \sin{\left(28 x y \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{y \to 0^+} \sin{\left(4 x y \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{y \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(28 x y \right)}}{\sin{\left(4 x y \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{y \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(28 x y \right)}}{\sin{\left(4 x y \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{y \to 0^+}\left(\frac{\frac{\partial}{\partial y} \sin{\left(28 x y \right)}}{\frac{\partial}{\partial y} \sin{\left(4 x y \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{y \to 0^+}\left(\frac{7 \cos{\left(28 x y \right)}}{\cos{\left(4 x y \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{y \to 0^+} 7$$
=
$$\lim_{y \to 0^+} 7$$
=
$$7$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{y \to 0^+} \sin{\left(28 x y \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{y \to 0^+} \sin{\left(4 x y \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{y \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(28 x y \right)}}{\sin{\left(4 x y \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{y \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(28 x y \right)}}{\sin{\left(4 x y \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{y \to 0^+}\left(\frac{\frac{\partial}{\partial y} \sin{\left(28 x y \right)}}{\frac{\partial}{\partial y} \sin{\left(4 x y \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{y \to 0^+}\left(\frac{7 \cos{\left(28 x y \right)}}{\cos{\left(4 x y \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{y \to 0^+} 7$$
=
$$\lim_{y \to 0^+} 7$$
=
$$7$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
A la izquierda y a la derecha
[src]
/sin(28*x*y)\ lim |-----------| y->0+\ sin(4*x*y)/
$$\lim_{y \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(28 x y \right)}}{\sin{\left(4 x y \right)}}\right)$$
7
$$7$$
/sin(28*x*y)\ lim |-----------| y->0-\ sin(4*x*y)/
$$\lim_{y \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(28 x y \right)}}{\sin{\left(4 x y \right)}}\right)$$
7
$$7$$
7