Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 8*x/(-4+x)
-
Límite de (7-3*x^2+5*x^4)/(1+x^4+2*x^3)
-
Límite de (1+3*n)/(2+n)
-
Límite de (-2+x)^(-2)
-
Expresiones idénticas
- (tres ^n+ cuatro ^n)/sqrt(- uno + dos ^n)
- (3 en el grado n más 4 en el grado n) dividir por raíz cuadrada de ( menos 1 más 2 en el grado n)
- (tres en el grado n más cuatro en el grado n) dividir por raíz cuadrada de ( menos uno más dos en el grado n)
- (3^n+4^n)/√(-1+2^n)
- (3n+4n)/sqrt(-1+2n)
- 3n+4n/sqrt-1+2n
- 3^n+4^n/sqrt-1+2^n
- (3^n+4^n) dividir por sqrt(-1+2^n)
-
Expresiones semejantes
- (3^n+4^n)/sqrt(-1-2^n)
- (3^n-4^n)/sqrt(-1+2^n)
- (3^n+4^n)/sqrt(1+2^n)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(3+x+x^2)-sqrt(1+x^2-3*x)
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2+3*x)
- sqrt(4+x)-sqrt(6)/(-8+x^2+2*x)
- sqrt(2)*(-2+x)^n/(2*sqrt(pi)*sqrt(n))
- sqrt(2+x^2-x)-sqrt(-3+x^2)
Límite de la función (3^n+4^n)/sqrt(-1+2^n)
Solución
Ha introducido
[src]
/ n n \
| 3 + 4 |
lim |------------|
n->oo| _________|
| / n |
\\/ -1 + 2 /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n} + 4^{n}}{\sqrt{2^{n} - 1}}\right)$$
Limit((3^n + 4^n)/sqrt(-1 + 2^n), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(3^{n} + 4^{n}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt{2^{n} - 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n} + 4^{n}}{\sqrt{2^{n} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(3^{n} + 4^{n}\right)}{\frac{d}{d n} \sqrt{2^{n} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 2^{- n} \sqrt{2^{n} - 1} \left(3^{n} \log{\left(3 \right)} + 2 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)}\right)}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(3^{n} \log{\left(3 \right)} + 2 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)}\right)}{\frac{d}{d n} \frac{2^{n} \log{\left(2 \right)}}{2 \sqrt{2^{n} - 1}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n} \log{\left(3 \right)}^{2} + 2 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)} \log{\left(4 \right)}}{- \frac{2^{2 n} \log{\left(2 \right)}^{2}}{4 \left(2^{n} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2^{n} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2 \sqrt{2^{n} - 1}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n} \log{\left(3 \right)}^{2} + 2 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)} \log{\left(4 \right)}}{- \frac{2^{2 n} \log{\left(2 \right)}^{2}}{4 \left(2^{n} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2^{n} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2 \sqrt{2^{n} - 1}}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(3^{n} + 4^{n}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt{2^{n} - 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n} + 4^{n}}{\sqrt{2^{n} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(3^{n} + 4^{n}\right)}{\frac{d}{d n} \sqrt{2^{n} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 2^{- n} \sqrt{2^{n} - 1} \left(3^{n} \log{\left(3 \right)} + 2 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)}\right)}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(3^{n} \log{\left(3 \right)} + 2 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)}\right)}{\frac{d}{d n} \frac{2^{n} \log{\left(2 \right)}}{2 \sqrt{2^{n} - 1}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n} \log{\left(3 \right)}^{2} + 2 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)} \log{\left(4 \right)}}{- \frac{2^{2 n} \log{\left(2 \right)}^{2}}{4 \left(2^{n} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2^{n} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2 \sqrt{2^{n} - 1}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n} \log{\left(3 \right)}^{2} + 2 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)} \log{\left(4 \right)}}{- \frac{2^{2 n} \log{\left(2 \right)}^{2}}{4 \left(2^{n} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2^{n} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2 \sqrt{2^{n} - 1}}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n} + 4^{n}}{\sqrt{2^{n} - 1}}\right) = \infty$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{3^{n} + 4^{n}}{\sqrt{2^{n} - 1}}\right) = - \infty i$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{3^{n} + 4^{n}}{\sqrt{2^{n} - 1}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{3^{n} + 4^{n}}{\sqrt{2^{n} - 1}}\right) = 7$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{3^{n} + 4^{n}}{\sqrt{2^{n} - 1}}\right) = 7$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{3^{n} + 4^{n}}{\sqrt{2^{n} - 1}}\right) = 0$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{3^{n} + 4^{n}}{\sqrt{2^{n} - 1}}\right) = - \infty i$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{3^{n} + 4^{n}}{\sqrt{2^{n} - 1}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{3^{n} + 4^{n}}{\sqrt{2^{n} - 1}}\right) = 7$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{3^{n} + 4^{n}}{\sqrt{2^{n} - 1}}\right) = 7$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{3^{n} + 4^{n}}{\sqrt{2^{n} - 1}}\right) = 0$$
Más detalles con n→-oo