Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 2 \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x \log{\left(x \right)} + x \log{\left(x + 2 \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 2 \right)}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 2 \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} \log{\left(x + 2 \right)} + \log{\left(x + 2 \right)}^{2}}{- \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} \log{\left(x + 2 \right)} + \log{\left(x + 2 \right)}^{2}}{- \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x}}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)